Seja
aberto e seja
contínua. Suponha que existe uma primitiva
tal que
para todo
. Prove que, para todo triângulo
,
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede o seguinte:
-
Informações dadas:
-
é um aberto. -
é contínua. - Existe uma primitiva
tal que para todo . -
é um triângulo (ou seja, o triângulo fechado com os seus vértices está contido em ).
-
-
O que é pedido:
- Mostrar que
- Mostrar que
Passo 2
Escolher uma descrição conveniente do contorno do triângulo. Seja
os vértices de
percorridos em ordem (por exemplo sentido anti-horário). Parametrizo as arestas do triângulo por caminhos suaves
definidos por segmentos retos:
Cada
é diferenciável e suas imagens ficam dentro de
porque o triângulo
está contido em
. O contorno
é o caminho fechado formado pela concatenação
.
Passo 3
Recordar e provar de forma direta a regra da cadeia para
composta com um caminho suave
. Como
é diferenciável em
e
, para qualquer
e pequeno
vale a aproximação linear
Dividindo por
e fazendo
, como
é diferenciável obtenho
Isto é a regra da cadeia neste contexto. Note que
é precisamente
.
Passo 4
Usar o Teorema Fundamental do Cálculo (para funções reais de uma variável) aplicado à função
. A função
é diferenciável e
, portanto
Mas a integral do lado esquerdo é exatamente a integral de linha de
ao longo de
:
Logo, para qualquer aresta parametrizada
que vai de um ponto
a um ponto
vale
Passo 5
Aplicar o resultado do passo anterior às três arestas
:
Somando as três igualdades (que corresponde a integrar
sobre o contorno fechado
) obtém-se cancelamento telescópico:
Passo 6
Comentário final e observação prática: a prova usou apenas que
é primitiva de
em todo o aberto contendo o triângulo e a regra da cadeia + Teorema Fundamental do Cálculo para as parametrizações das arestas. Assim concluímos que a integral de
ao longo de qualquer contorno fechado que seja a união de segmentos (em particular o contorno de qualquer triângulo contido em
) é zero. Isso é a forma concreta do fato geral: existência de primitiva implica integral sobre curvas fechadas é zero (e independência de caminho).