Questão 41)
Dado o elipsóide E1:
e o plano
Região R do elipsóide acima do plano.
Calcule a integral tripla:
■R
Dado o elipsóide E1:
e o plano
Passo 1
O enunciado dá o elipsóide
e o plano
A região
é a parte do elipsóide com
. Precisamos calcular
O método será mudar para coordenadas que transformem o elipsóide em esfera unitária, renomear variáveis, usar simetria para eliminar termos lineares e depois integrar em coordenadas esféricas.
Passo 2
Reescrevemos o elipsóide em forma padrão dividindo por 2:
Definimos a aplicação linear
de modo que a equação vira
(esfera unitária). O plano
torna-se
Portanto
vira o “cap” da esfera unitária com
.
Passo 3
Na mudança de variáveis, o jacobiano é
O integrando é
Mas, no “cap”
, a projeção em
é simétrica em torno da origem, logo os termos lineares em
e
integram zero. Resta
Isto se separa em
Passo 4
Calculemos
, o volume do “cap” acima de
. Para uma esfera de raio 1 e corte em
, a altura do cap é
e
Passo 5
Agora
. Em coordenadas esféricas
,
e o cap é
,
,
. Fazendo a integral dá, após cálculo,
Passo 6
Voltando à integral original,
Substituindo os valores de
e
e simplificando, obtemos