Questão 41)
Dado o elipsóide E1:
((\mathrm{z}-1) / 4)^{\wedge} 2+(\mathrm{x} / 2)^{\wedge} 2+(\mathrm{y} / 3)^{\wedge} 2=2
e o plano \pi:(z-1) / 4=1
Região R do elipsóide acima do plano.
Calcule a integral tripla:
■R [(\mathrm{x}+1) / 2] \wedge 2+[(\mathrm{y}-2) / 3] \wedge 2+[(\mathrm{z}-1) / 4] \wedge 2 \mathrm{dxdydz}

Passo 1

O enunciado dá o elipsóide
\frac{(z-1)^2}{16}+\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=2
e o plano
\pi:\frac{z-1}{4}=1\quad\Longrightarrow\quad z=5.
A região R é a parte do elipsóide com z\ge5. Precisamos calcular
\iiint_{R}\Bigl[\bigl(\tfrac{x+1}{2}\bigr)^2+\bigl(\tfrac{y-2}{3}\bigr)^2+\bigl(\tfrac{z-1}{4}\bigr)^2\Bigr]\,dx\,dy\,dz.
O método será mudar para coordenadas que transformem o elipsóide em esfera unitária, renomear variáveis, usar simetria para eliminar termos lineares e depois integrar em coordenadas esféricas.

Passo 2

Reescrevemos o elipsóide em forma padrão dividindo por 2:
\frac{(z-1)^2}{32}+\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{18}=1.
Definimos a aplicação linear
x=2\sqrt2\,u,\quad y=3\sqrt2\,v,\quad z-1=4\sqrt2\,w,
de modo que a equação vira
u^2+v^2+w^2=1
(esfera unitária). O plano z=5 torna-se
w=\frac{z-1}{4\sqrt2}=\frac{4}{4\sqrt2}=\frac1{\sqrt2}.
Portanto R vira o “cap” da esfera unitária com w\ge1/\sqrt2.

Passo 3

Na mudança de variáveis, o jacobiano é
dx\,dy\,dz =(2\sqrt2)(3\sqrt2)(4\sqrt2)\,du\,dv\,dw =48\sqrt2\;du\,dv\,dw.
O integrando é
\Bigl(\tfrac{x+1}{2}\Bigr)^2 +\Bigl(\tfrac{y-2}{3}\Bigr)^2 +\Bigl(\tfrac{z-1}{4}\Bigr)^2 =2(u^2+v^2+w^2) +(\text{termos lineares em }u,v) +\frac{25}{36}.
Mas, no “cap” u^2+v^2+w^2\le1,\;w\ge1/\sqrt2, a projeção em u,v é simétrica em torno da origem, logo os termos lineares em u e v integram zero. Resta
\iiint_{R}f\,dV =48\sqrt2\;\iint_{\substack{u^2+v^2+w^2\le1\w\ge1/\sqrt2}} \Bigl[2(u^2+v^2+w^2)+\tfrac{25}{36}\Bigr]\,du\,dv\,dw.
Isto se separa em
48\sqrt2\Bigl[2\underbrace{\iiint_{\text{cap}}(u^2+v^2+w^2)\,dV}_{I_1} +\tfrac{25}{36}\underbrace{\iiint_{\text{cap}}1\,dV}_{I_2}\Bigr].

Passo 4

Calculemos I_2, o volume do “cap” acima de w=1/\sqrt2. Para uma esfera de raio 1 e corte em w=c, a altura do cap é h=1-c e
I_2 =\frac{\pi\,h^2(3\cdot1-h)}{3} =\frac{\pi\,(1-\tfrac1{\sqrt2})^2\,(2+\tfrac1{\sqrt2})}{3} =\frac{\pi\,(8-5\sqrt2)}{12}.

Passo 5

Agora I_1=\displaystyle\iiint_{\text{cap}}(u^2+v^2+w^2)\,dV. Em coordenadas esféricas (r,\varphi,\theta),
u^2+v^2+w^2=r^2,\quad dV=r^2\sin\varphi\,dr\,d\varphi\,d\theta,
e o cap é \varphi\in[0,\pi/4], r\in[1/(\sqrt2\cos\varphi),1], \theta\in[0,2\pi]. Fazendo a integral dá, após cálculo,
I_1 =\frac{2\pi}{5}\Bigl[\,1-\frac{19}{16\sqrt2}\Bigr].

Passo 6

Voltando à integral original,
\iiint_{R}f\,dV =48\sqrt2\Bigl[2I_1+\tfrac{25}{36}I_2\Bigr].
Substituindo os valores de I_1 e I_2 e simplificando, obtemos
\iiint_{R}f\,dV =\frac{\pi}{45}\,\bigl(2728\sqrt2-3302\bigr).

Resposta

\boxed{ \iiint_{R}\Bigl[\bigl(\tfrac{x+1}{2}\bigr)^2+\bigl(\tfrac{y-2}{3}\bigr)^2+\bigl(\tfrac{z-1}{4}\bigr)^2\Bigr]\,dx\,dy\,dz =\frac{\pi}{45}\,\bigl(2728\sqrt2-3302\bigr). }

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