(2,0) Encontre a Série de Taylor da função f(x)=\ln x centrada em a=3 e seu raio de convergência.

Passo 1

O enunciado pede a série de Taylor de f(x)=\ln x centrada em a=3 e seu raio de convergência. Vamos usar a definição
f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(3)}{n!}(x-3)^n
e precisar dos derivativos de f em x=3.

Passo 2

Calculamos os primeiros derivativos em geral:
f(x)=\ln x,\quad f'(x)=\frac1x,\quad f''(x)=-\frac1{x^2},\quad f^{(3)}(x)=\frac{2!}{x^3},\\ \dots
Em particular,
f(3)=\ln3,\quad f'(3)=\frac13,\quad f''(3)=-\frac1{3^2},\quad f^{(3)}(3)=\frac{2!}{3^3},\\ \dots

Passo 3

Observando o padrão, para n\ge1 temos
f^{(n)}(x)=(-1)^{\,n-1}\,(n-1)!\,x^{-n},
logo em x=3
f^{(n)}(3)=(-1)^{\,n-1}\frac{(n-1)!}{3^n}.

Passo 4

Substituindo na definição de Taylor:
\ln x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(3)}{n!}(x-3)^n =\ln3+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{\,n-1}(n-1)!}{n!\,3^n}(x-3)^n.
Como \frac{(n-1)!}{n!}=\frac1n, obtemos
\boxed{\ln x=\ln3+\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{\,n-1}\frac{(x-3)^n}{n\,3^n}}.

Passo 5

O raio de convergência R é a distância do centro x=3 à singularidade mais próxima de \ln x, que fica em x=0. Logo
R=3.

Resposta

\ln x=\ln3+\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{\,n-1}\frac{(x-3)^n}{n\,3^n},\quad R=3.

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