Resolva a equação diferencial
utilizando série de potências ao redor de
, exibindo os oito primeiros termos não nulos da solução.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial
usando séries de potências centradas em
. O conteúdo que vamos usar é a técnica de assumir
e determinar uma relação de recorrência entre os coeficientes
.
Passo 2
Assumimos
Substituindo na equação
e reindexando para todas as somas em potências
, obtemos
Analisando o coeficiente de
e dos demais
, chega-se à relação de recorrência.
Passo 3
Do termo em
vem
Para
igualamos o coeficiente de
a zero e achamos
Isso separa-se em duas sub-séries: uma com índices pares (função par) e outra com índices ímpares (função ímpar).
Passo 4
Para a parte par definimos
. Da recorrência
segue
Para a parte ímpar definimos
. Da recorrência
segue
Agora calculamos explicitamente até grau 7:
– Série par (até
):
– Série ímpar (até
):
Passo 5
A solução geral é combinação linear dessas duas sub-séries:
Os oito primeiros termos não nulos (do grau
ao
) são:
Resposta
cujo desenvolvimento até
fornece os oito primeiros termos não nulos indicados acima.