(2,0) Resolva a equação diferencial
y^{\prime \prime}-x y^{\prime}-2 y=0
utilizando série de potências ao redor de x=0, exibindo os oito primeiros termos não nulos da solução.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
y'' - x\,y' - 2\,y = 0
usando séries de potências centradas em x=0. O conteúdo que vamos usar é a técnica de assumir
y(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n\,x^n
e determinar uma relação de recorrência entre os coeficientes a_n.

Passo 2

Assumimos
y(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n\,x^n,\quad y'(x) = \sum_{n=1}^{\infty} n\,a_n\,x^{n-1},\quad y''(x) = \sum_{n=2}^{\infty} n(n-1)\,a_n\,x^{n-2}.
Substituindo na equação
\sum_{n=2}^{\infty} n(n-1)a_n\,x^{n-2} - x\sum_{n=1}^{\infty} n\,a_n\,x^{n-1} -2\sum_{n=0}^{\infty} a_n\,x^n = 0
e reindexando para todas as somas em potências x^k, obtemos
\sum_{k=0}^{\infty}(k+2)(k+1)a_{k+2}\,x^k - \sum_{k=1}^{\infty}k\,a_k\,x^k -2\sum_{k=0}^{\infty}a_k\,x^k = 0.
Analisando o coeficiente de x^0 e dos demais x^k, chega-se à relação de recorrência.

Passo 3

Do termo em x^0 vem
2\,a_2 - 2\,a_0 = 0 \quad\Longrightarrow\quad a_2 = a_0.
Para k\ge1 igualamos o coeficiente de x^k a zero e achamos
(k+2)(k+1)\,a_{k+2} - \bigl(k + 2\bigr)\,a_k = 0 \quad\Longrightarrow\quad a_{k+2} = \frac{a_k}{k+1}.
Isso separa-se em duas sub-séries: uma com índices pares (função par) e outra com índices ímpares (função ímpar).

Passo 4

Para a parte par definimos a_{2m}. Da recorrência
a_{2(m+1)} = \frac{a_{2m}}{2m+1}
segue
a_{2m} = \frac{a_0}{1\cdot3\cdot5\cdots(2m-1)}.
Para a parte ímpar definimos a_{2m+1}. Da recorrência
a_{2(m+1)+1} = \frac{a_{2m+1}}{2m+2}
segue
a_{2m+1} = \frac{a_1}{2\cdot4\cdot6\cdots(2m)} = \frac{a_1}{2^m\,m!}.
Agora calculamos explicitamente até grau 7:
– Série par (até x^6):
1,\quad x^2,\quad \frac{x^4}{1\cdot3} = \frac{x^4}{3},\quad \frac{x^6}{1\cdot3\cdot5} = \frac{x^6}{15}.
– Série ímpar (até x^7):
x,\quad \frac{x^3}{2},\quad \frac{x^5}{2\cdot4} = \frac{x^5}{8},\quad \frac{x^7}{2\cdot4\cdot6} = \frac{x^7}{48}.

Passo 5

A solução geral é combinação linear dessas duas sub-séries:
y(x) = a_0\underbrace{\bigl(1 + x^2 + \tfrac{x^4}{3} + \tfrac{x^6}{15} + \cdots\bigr)}_{\text{série par}} \;+\; a_1\underbrace{\bigl(x + \tfrac{x^3}{2} + \tfrac{x^5}{8} + \tfrac{x^7}{48} + \cdots\bigr)}_{\text{série ímpar}}.ééí
Os oito primeiros termos não nulos (do grau 0 ao 7) são:
a_0,\quad a_1\,x,\quad a_0\,x^2,\quad \tfrac{a_1}{2}\,x^3,\quad \tfrac{a_0}{3}\,x^4,\quad \tfrac{a_1}{8}\,x^5,\quad \tfrac{a_0}{15}\,x^6,\quad \tfrac{a_1}{48}\,x^7.

Resposta

\boxed{ y(x) = a_0\Bigl(1 + x^2 + \tfrac{x^4}{3} + \tfrac{x^6}{15} + \cdots\Bigr) \;+\; a_1\Bigl(x + \tfrac{x^3}{2} + \tfrac{x^5}{8} + \tfrac{x^7}{48} + \cdots\Bigr), }
cujo desenvolvimento até x^7 fornece os oito primeiros termos não nulos indicados acima.

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