Exercício 1 - Considere a função
.
(a) Determine a equação do plano tangente ao gráfico de
no ponto
.
(b) Determine a linearização e a aproximação linear de
no ponto
.
Use a aproximação linear encontrada para determinar uma aproximação para
.
(a) Determine a equação do plano tangente ao gráfico de
(b) Determine a linearização e a aproximação linear de
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede: (a) o plano tangente ao gráfico de
no ponto
e (b) a linearização de
nesse ponto, usando-a para aproximar
. Vamos precisar de derivadas parciais para obter o gradiente e daí o plano tangente e a aproximação linear.
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais de
Usando regra da cadeia,
No ponto
temos
A equação do plano tangente é
logo
Passo 3
A linearização de
em
é
Substituindo os valores:
Portanto a aproximação linear de
perto de
é simplesmente
.
Passo 4
Para aproximar
usamos
Resposta
(a)
(b) A linearização é e
(b) A linearização é