Exercício 1 - Considere a função h(x, y)=-\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
(a) Determine a equação do plano tangente ao gráfico de h no ponto (-3,0, h(-3,0)).
(b) Determine a linearização e a aproximação linear de h no ponto (-3,0).
Use a aproximação linear encontrada para determinar uma aproximação para h(-3,01 ; 0,01).

Passo 1

O enunciado dá a função
h(x,y) = -\sqrt{x^{2}+y^{2}}
e pede: (a) o plano tangente ao gráfico de h no ponto \bigl(-3,0,h(-3,0)\bigr) e (b) a linearização de h nesse ponto, usando-a para aproximar h(-3,01;0,01). Vamos precisar de derivadas parciais para obter o gradiente e daí o plano tangente e a aproximação linear.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de
h(x,y)=-\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)^{1/2}.
Usando regra da cadeia,
h_x(x,y) = -\frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}, \quad h_y(x,y) = -\frac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}.
No ponto \bigl(a,b\bigr)=(-3,0) temos
h(-3,0) = -\sqrt{(-3)^{2}+0^{2}} = -3,
h_x(-3,0) = -\frac{-3}{3} = 1, \quad h_y(-3,0) = -\frac{0}{3} = 0.
A equação do plano tangente é
z - z_{0} = h_x(a,b)\,(x-a) + h_y(a,b)\,(y-b),
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z - (-3) = 1\,(x+3) + 0\,(y-0) \quad\Longrightarrow\quad z = x.

Passo 3

A linearização de h em (a,b)=(-3,0) é
L(x,y) = h(a,b) + h_x(a,b)\,(x-a) + h_y(a,b)\,(y-b).
Substituindo os valores:
L(x,y) = -3 + 1\,(x + 3) + 0\,(y - 0) = x.
Portanto a aproximação linear de h perto de (-3,0) é simplesmente L(x,y)=x.

Passo 4

Para aproximar
h(-3,01;0,01)
usamos
h(-3,01;0,01)\approx L(-3,01,\,0,01) = -3,01.

Resposta

(a) z = x
(b) A linearização é L(x,y)=x e
h(-3,01;0,01)\approx -3,01.

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