Questão 2. (8pts) Quais das séries a seguir convergem e quais divergem? Encontre a soma de cada série converente.
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{2^{3 n+3}}{5^{2 n-4}};

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{2^{3n+3}}{5^{2n-4}} converge ou diverge e, em caso de convergência, calcular sua soma. O tema envolve séries geométricas; vamos reconhecer a forma \sum a\,r^n e usar o critério de convergência para séries geométricas e a fórmula de soma correspondente.

Passo 2

Simplificamos o termo geral:
2^{3n+3} = 2^3\cdot 2^{3n} = 8\cdot 8^n,
5^{2n-4} = \frac{5^{2n}}{5^4} = \frac{25^n}{625}.
Logo,
\frac{2^{3n+3}}{5^{2n-4}} = \frac{8\cdot 8^n}{\tfrac{25^n}{625}} =8\cdot 8^n\cdot\frac{625}{25^n} =5000\left(\frac{8}{25}\right)^n.

Passo 3

Reconhecemos uma série geométrica de primeiro termo a=5000 e razão
r = \frac{8}{25}.
Como \bigl|r\bigr| = \tfrac{8}{25} < 1, pelo teste de convergência para séries geométricas, a série converge.

Passo 4

A soma de uma série geométrica \sum_{n=0}^{\infty}a\,r^n é
\frac{a}{1-r}.
Portanto,
\sum_{n=0}^{\infty}5000\left(\frac{8}{25}\right)^n = \frac{5000}{1 - \frac{8}{25}} = \frac{5000}{\frac{17}{25}} =5000\cdot\frac{25}{17} =\frac{125000}{17}.

Resposta

A série converge e sua soma é \displaystyle \frac{125000}{17}.

Exercícios relacionados