Questão 5. (6pts) Encontre a Série de Taylor gerada por
em
.
em
;
Passo 1
O enunciado pede a série de Taylor de
em
. Como
, estamos na série de Maclaurin, que se baseia na fórmula
Passo 2
Para usar essa fórmula, precisamos de uma expressão geral para as derivadas
. Aplicando a regra da cadeia repetidamente a
vemos que cada derivada acrescenta um fator
.
Passo 3
Por indução ou observação direta,
então em
temos
Passo 4
Substituindo
na série de Maclaurin, obtemos
o que é equivalente a escrever