Questão 5. (6pts) Encontre a Série de Taylor gerada por f(x) em x=a.
f(x)=e^{-4 x} em x=0;

Passo 1

O enunciado pede a série de Taylor de f(x)=e^{-4x} em x=0. Como a=0, estamos na série de Maclaurin, que se baseia na fórmula
f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n.

Passo 2

Para usar essa fórmula, precisamos de uma expressão geral para as derivadas f^{(n)}(x). Aplicando a regra da cadeia repetidamente a
f(x)=e^{-4x},
vemos que cada derivada acrescenta um fator -4.

Passo 3

Por indução ou observação direta,
f^{(n)}(x)=(-4)^n e^{-4x},
então em x=0 temos
f^{(n)}(0)=(-4)^n.

Passo 4

Substituindo f^{(n)}(0) na série de Maclaurin, obtemos
e^{-4x}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-4)^n}{n!}x^n,
o que é equivalente a escrever
e^{-4x}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-4x)^n}{n!}.

Resposta

e^{-4x}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-4x)^n}{n!}.

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