Obtenha y^prime=d yd x sabendo que y=f(x).
y=ln (raizx cos x1+x^2)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
y=lnl(raizx,cos x1+x^2r)
Aqui o conteúdo principal é derivada de função composta (regra da cadeia) e propriedades do logaritmo natural.

Passo 2

Para simplificar a diferenciação, usamos propriedades do logaritmo. Primeiro escrevemos:
y=ln(raizx)+ln(cos x)-ln(1+x^2)
E lembramos que ln(raizx)=tfrac12ln x, logo:
y=tfrac12ln x+ln(cos x)-ln(1+x^2)

Passo 3

Agora derivamos cada termo separadamente:
  • Para tfrac12ln x: ddxl(tfrac12ln xr)=tfrac12cdot1x=12x
  • Para ln(cos x):
    usamos ddxln(u)=u'u com u=cos x, então ddxln(cos x)=-sin xcos x=-tan x
  • Para -ln(1+x^2):
    com u=1+x^2, temos ddxl(-ln(1+x^2)r)=-2x1+x^2

Passo 4

Juntando todas as derivadas temos:
y'=12x-tan x-2x1+x^2

Resposta

y'=12x-tan x-2x1+x^2

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