Nos problemas abaixo, uma equação diferencial é dada junto com o campo ou área de problema em que ela aparece. Classifique cada uma como uma equação diferencial ordinária (EDO) ou equação diferencial parcial (EDP), dê a ordem e indique as variáveis independentes e dependentes. Se a equação for diferencial ordinária, indique se a equação é linear ou não linear.
partial^2 upartial x^2+partial^2 upartial y^2=0 (Equação de Laplace, teoria do potencial, eletricidade, calor, aerodinâmica)

Passo 1

O enunciado apresenta a equação
partial^2upartial x^2 + partial^2upartial y^2 = 0
e pede para classificá-la como EDO ou EDP, dar a ordem, identificar variáveis independentes e dependentes e, se for EDO, dizer se é linear ou não.

Passo 2

Observando os operadores de derivada, vemos que aparecem derivadas parciais partial/partial x e partial/partial y. Sempre que há derivadas parciais em mais de uma variável independente, trata-se de uma equação diferencial parcial (EDP).
A maior derivada presente é de segunda ordem (ex.: partial^2u/partial x^2), portanto a ordem da equação é 2.

Passo 3

As variáveis independentes são x e y, pois derivamos em relação a elas, e a variável dependente é u(x,y).

Passo 4

Para verificar a linearidade, observamos que u e suas derivadas aparecem apenas de forma linear (não há produtos nem funções não-lineares de u ou de suas derivadas). Logo, mesmo sendo uma EDP, ela é linear.

Resposta

É uma equação diferencial parcial (EDP) de segunda ordem, com variáveis independentes x e y e variável dependente u. Além disso, é uma EDP linear.

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