Encontre uma série de Taylor da função
em torno de
.
Passo 1
Beleza! Vamos resolver o exercício que pede para encontrar uma série de Taylor para a função
em torno de
.
Conteúdo da Matéria: Série de Taylor.
O que vamos precisar:
- Conhecer a fórmula da série de Taylor.
- Entender como derivar a função
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a série de Taylor. É uma maneira de representar uma função como uma soma infinita de termos derivados da função e suas derivadas em um ponto específico
.
A fórmula geral da série de Taylor para uma função
em torno de
é:
Aqui,
representa a
-ésima derivada de
avaliada em
, e
é o fatorial de
.
Passo 3
No nosso caso, a função é
e queremos expandir em torno de
(também conhecido como série de Maclaurin).
Vamos calcular as derivadas de
e avaliá-las em
.
Primeira, a função original:
A derivada primeira:
A derivada segunda:
E assim por diante, todas as derivadas de
são
.
Passo 4
Agora, vamos avaliar essas derivadas em
:
E assim por diante, todas as derivadas avaliadas em 0 são 1.
Passo 5
Substituindo esses valores na fórmula da série de Taylor:
Como
e todas as derivadas seguintes avaliadas em 0 valem 1, a série simplifica para:
Resposta
A série de Taylor de
em torno de
é: