Encontre uma série de Taylor da função
e^x - 1
em torno de a = 0.

Passo 1

Beleza! Vamos resolver o exercício que pede para encontrar uma série de Taylor para a função em torno de .
Conteúdo da Matéria: Série de Taylor.
O que vamos precisar:
  • Conhecer a fórmula da série de Taylor.
  • Entender como derivar a função .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a série de Taylor. É uma maneira de representar uma função como uma soma infinita de termos derivados da função e suas derivadas em um ponto específico .
A fórmula geral da série de Taylor para uma função em torno de é:
Aqui, representa a -ésima derivada de avaliada em , e é o fatorial de .

Passo 3

No nosso caso, a função é e queremos expandir em torno de (também conhecido como série de Maclaurin).
Vamos calcular as derivadas de e avaliá-las em .
Primeira, a função original:
A derivada primeira:
A derivada segunda:
E assim por diante, todas as derivadas de são .

Passo 4

Agora, vamos avaliar essas derivadas em :
E assim por diante, todas as derivadas avaliadas em 0 são 1.

Passo 5

Substituindo esses valores na fórmula da série de Taylor:
Como e todas as derivadas seguintes avaliadas em 0 valem 1, a série simplifica para:

Resposta

A série de Taylor de em torno de é:

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