Use coordenadas cilíndricas e calcule as seguintes integrais: integral triplaD x y d V, D=x^2+y^2 <= 1,0 <= z <= 1

Passo 1

Vamos resolver a integral tripla integral triplaD x y , dV, onde a região D é definida por x^2+y^2 <= 1 e 0 <= z <= 1. Vamos usar coordenadas cilíndricas para facilitar a integração. Para isso, precisamos converter as variáveis x, y e dV para coordenadas cilíndricas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como converter para coordenadas cilíndricas:
  • x = r costheta
  • y = r sintheta
  • dV = r , dr , dtheta , dz
Substituindo x e y na integral, temos:
x y = (r costheta)(r sintheta) = r^2 costheta sintheta
Então, a integral se torna:
integral triplaD x y , dV = integral0^1 integral0^2pi integral0^1 r^2 costheta sintheta cdot r , dr , dtheta , dz
Simplificando, fica:
integral0^1 integral0^2pi integral0^1 r^3 costheta sintheta , dr , dtheta , dz

Passo 3

Vamos integrar em relação a r primeiro:
integral0^1 r^3 , dr = [ r^44 ]0^1 = 14
Agora, a integral fica:
14 integral0^1 integral0^2pi costheta sintheta , dtheta , dz

Passo 4

Em seguida, integramos em relação a theta:
integral0^2pi costheta sintheta , dtheta
Podemos usar a identidade trigonométrica:
costheta sintheta = 12 sin(2theta)
Então,
12 integral0^2pi sin(2theta) , dtheta = 12 [ -cos(2theta)2 ]0^2pi = 0
Portanto, a integral em theta é zero.

Passo 5

Como a integral em theta é zero, a integral inteira será:
14 times 0 times integral0^1 dz = 0

Resposta

A integral tripla integral triplaD x y , dV vale 0.

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