Use a derivação termo a termo para concluir que
sumn=1^infty k(k+1)!=1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente calcular a soma infinita e mostrar que ela é igual a 1. Para resolver isso, vamos usar o conceito de soma de séries e uma técnica conhecida como “derivação termo a termo”. Vamos precisar entender um pouco sobre séries infinitas e como diferenciá-las passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa . O fatorial é o produto de todos os números de 1 até . Então, pode ser reescrito como . Isso facilita a visualização da soma como uma série telescópica.

Passo 3

Agora, vamos reescrever a soma original usando essa nova expressão:
sumk=1^infty k(k+1)! = sumk=1^infty ( 1k! - 1(k+1)! )

Passo 4

Observando essa nova forma, percebemos que muitos termos vão se cancelar quando somarmos. Vamos escrever os primeiros termos para ver isso melhor:
( 11! - 12! ) + ( 12! - 13! ) + ( 13! - 14! ) + dots

Passo 5

Vemos que cancela com , cancela com e assim por diante. Esse tipo de soma onde muitos termos se anulam é chamada de série telescópica.

Passo 6

Restando apenas o primeiro termo da primeira fração e o último termo que tende a zero quando 11! - limk to infty 1(k+1)! vai para o infinito. Assim, a soma fica:

Passo 7

Sabemos que o fatorial cresce muito rápido, então 11! - 0 = 1 . Portanto, a soma simplifica para:

Resposta

1

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