Use a derivação termo a termo para concluir que
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente calcular a soma infinita
e mostrar que ela é igual a 1. Para resolver isso, vamos usar o conceito de soma de séries e uma técnica conhecida como “derivação termo a termo”. Vamos precisar entender um pouco sobre séries infinitas e como diferenciá-las passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
. O fatorial
é o produto de todos os números de 1 até
. Então,
pode ser reescrito como
. Isso facilita a visualização da soma como uma série telescópica.
Passo 3
Agora, vamos reescrever a soma original usando essa nova expressão:
Passo 4
Observando essa nova forma, percebemos que muitos termos vão se cancelar quando somarmos. Vamos escrever os primeiros termos para ver isso melhor:
Passo 5
Vemos que
cancela com
,
cancela com
e assim por diante. Esse tipo de soma onde muitos termos se anulam é chamada de série telescópica.
Passo 6
Restando apenas o primeiro termo da primeira fração e o último termo que tende a zero quando
vai para o infinito. Assim, a soma fica:
Passo 7
Sabemos que o fatorial cresce muito rápido, então
. Portanto, a soma simplifica para:
Resposta
1