Mostre que:
\int_{1}^{2} \frac{3 x^{2}+1}{x^{3}+x} d x=\ln 5

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{1}^{2}\frac{3x^{2}+1}{x^{3}+x}\,dx
O conteúdo aqui é integração de função racional em que o numerador coincide com a derivada do denominador. Vamos usar a substituição apropriada para converter em uma integral do tipo \int u^{-1}du.

Passo 2

Observe que, se definirmos
u = x^{3} + x,
então a derivada de u em relação a x é
\frac{du}{dx} = 3x^{2} + 1.
Isso mostra que o numerador da integral original é exatamente du/dx.

Passo 3

Fazendo a substituição u = x^{3}+x e du = (3x^{2}+1)\,dx, a integral passa a ser
\int_{1}^{2}\frac{3x^{2}+1}{x^{3}+x}\,dx = \int_{u(1)}^{u(2)}\frac{1}{u}\,du.
Calcule os limites em u:
u(1)=1^{3}+1=2, \qquad u(2)=2^{3}+2=10.

Passo 4

A integral em u é agora
\int_{2}^{10}\frac{1}{u}\,du,
cujo resultado conhecido é
\left[\ln\lvert u\rvert\right]_{2}^{10} = \ln\lvert 10\rvert - \ln\lvert 2\rvert.
Como 10 e 2 são positivos, podemos simplesmente escrever \ln(10)-\ln(2).

Passo 5

Use a propriedade dos logaritmos para simplificar:
\ln(10)-\ln(2)=\ln\!\bigl(\tfrac{10}{2}\bigr)=\ln(5).

Resposta

\ln 5

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