Questão 5 (2,0 pontos)

Considere o campo vetorial \vec{F}(x, y, z)=\left(-y^{2}, x, z^{2}\right) e a superficie S dada por \vec{r}(u, v)=u \vec{i}+v \vec{j}+(2-v) \vec{k} ; 0 \leq u \leq 1 ; 0 \leq v \leq 2. Utilize o Teorema de Stokes para calcular \int_{\partial S} \vec{F} \cdot d \vec{r}, em que \partial S é a curva de fronteira da superficie S, orientada no sentido antihorário quando vista de cima.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\oint_{\partial S}\vec{F}\cdot d\vec{r}
onde \vec{F}(x,y,z)=(-y^2,\,x,\,z^2) e S é a superfície parametrizada por
\vec{r}(u,v) = (u,\,v,\,2-v), \quad 0\le u\le1,\;0\le v\le2.
Vamos usar o Teorema de Stokes, que diz
\oint_{\partial S}\vec{F}\cdot d\vec{r} =\iint_{S} (\nabla\times\vec{F})\cdot\vec{n}\,dS.

Passo 2

Calculamos o rotacional de \vec{F}:
\nabla\times\vec{F} =\begin{vmatrix} \vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\\ \partial/\partial x&\partial/\partial y&\partial/\partial z\\\\ -y^2&x&z^2 \end{vmatrix} =(0,\,0,\,1+2y).

Passo 3

Da parametrização,
\frac{\partial\vec{r}}{\partial u}=(1,0,0), \quad \frac{\partial\vec{r}}{\partial v}=(0,1,-1).
O vetor normal orientado para cima (com componente z>0) é
\frac{\partial\vec{r}}{\partial u}\times\frac{\partial\vec{r}}{\partial v} =(1,0,0)\times(0,1,-1)=(0,1,1).
Logo \vec{n}\,dS=(0,1,1)\,du\,dv.

Passo 4

O produto escalar é
(\nabla\times\vec{F})\cdot\vec{n} =(0,0,1+2y)\cdot(0,1,1)=1+2y.
Como y=v, a integral de superfície fica
\iint_{S}(1+2v)\,du\,dv =\int_{u=0}^{1}\!\!\int_{v=0}^{2}(1+2v)\,dv\,du.
Calculando
\int_{0}^{2}(1+2v)\,dv =\bigl[v+v^2\bigr]_{0}^{2} =2+4=6,
e depois \int_{0}^{1}6\,du=6.

Resposta

O valor do integral de linha é 6.

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