Questão 2 (2,0 pontos)
Determine o vetor normal unitário à superfície parametrizada \vec{r}(u, v)=u \vec{\imath}+v \vec{\jmath}+\left(9-u^{2}-v^{2}\right) \vec{k} no ponto P=(0,0,9).

Passo 1

O enunciado dá a superfície parametrizada
\vec r(u,v)=u\,\vec\imath + v\,\vec\jmath + \bigl(9 - u^2 - v^2\bigr)\,\vec k
e pede o vetor normal unitário no ponto P=(0,0,9).
Conteúdo: cálculo de derivadas parciais, produto vetorial e normalização para achar o normal unitário.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de \vec r:
\frac{\partial\vec r}{\partial u} =\vec\imath - 2u\,\vec k, \qquad \frac{\partial\vec r}{\partial v} =\vec\jmath - 2v\,\vec k.

Passo 3

Encontramos (u,v) tal que \vec r(u,v)=P.
Temos
u=0,\quad v=0,\quad 9 - u^2 - v^2 = 9
logo o ponto corresponde a (u,v)=(0,0).

Passo 4

Avalia-se as derivadas em (0,0):
\frac{\partial\vec r}{\partial u}(0,0)=\vec\imath, \qquad \frac{\partial\vec r}{\partial v}(0,0)=\vec\jmath.

Passo 5

O vetor normal (não unitário) é dado pelo produto vetorial
\vec n =\frac{\partial\vec r}{\partial u}(0,0) \times \frac{\partial\vec r}{\partial v}(0,0) =\vec\imath\times\vec\jmath =\vec k.

Passo 6

Como \|\vec k\|=1, esse já é o vetor normal unitário.

Resposta

\vec n = \vec k

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