Mostre que:
\int_{\frac{1}{2}}^{1} \frac{1}{x^{2}} e^{\frac{1}{x}} d x=e^{2}-e

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
\int_{\tfrac12}^{1} \frac{1}{x^{2}}\,e^{\tfrac{1}{x}}\;dx \;=\; e^{2}-e.
O conteúdo principal é usar uma substituição que transforme o integrando em algo da forma e^{t}\,dt, cuja antiderivada é direta.

Passo 2

Escolhemos a substituição
t = \frac{1}{x}.
Diferenciando, temos
dt = -\frac{1}{x^{2}}\,dx \quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{x^{2}}\,dx = -\,dt.

Passo 3

Precisamos também mudar os limites de integração. Quando x=\tfrac12,
t = \frac{1}{\tfrac12} = 2,
e quando x=1,
t = \frac{1}{1} = 1.

Passo 4

Substituindo no integrando e nos limites, obtemos
\int_{\tfrac12}^{1} \frac{1}{x^{2}}\,e^{\tfrac{1}{x}}\,dx = \int_{t=2}^{\,1} e^{t}\,\bigl(-\,dt\bigr) = \int_{1}^{\,2} e^{t}\,dt.

Passo 5

A antiderivada de e^{t} é ela mesma, logo
\int_{1}^{2} e^{t}\,dt = \bigl[e^{t}\bigr]_{1}^{2} = e^{2}-e^{1} = e^{2}-e.

Resposta

e^{2}-e

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