Questão 15. Determine um ponto e um vetor normal ao plano pi nos seguintes casos:
pi:lx=2+3 mu y=1+2 lambda-mu z=-lambda+2 mu

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação paramétrica de um plano, onde x , y e z são expressos em função dos parâmetros lambda e mu . O objetivo aqui é encontrar um ponto que pertença a esse plano e descobrir um vetor que seja normal (perpendicular) a ele. Para isso, vamos precisar entender como identificar vetores diretores no plano e usar o produto vetorial para achar o vetor normal.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar um ponto que está no plano. Olhando para as equações paramétricas:
pi:l x = 2 + 3mu y = 1 + 2lambda - mu z = -lambda + 2mu
Se a gente escolher lambda = 0 e mu = 0 , simplifica bastante:
x = 2 + 3(0) = 2 y = 1 + 2(0) - 0 = 1 z = -0 + 2(0) = 0
Então, um ponto no plano pi é (2, 1, 0) .

Passo 3

Agora, vamos identificar os vetores diretores do plano. Esses vetores indicam as direções em que o plano se estende, e são dados pelos coeficientes dos parâmetros lambda e mu nas equações.
Para o parâmetro lambda :
lambda = 1, mu = 0 Rightarrow u = (3cdot0, 2cdot1 - 0, -1cdot1 + 2cdot0) = (0, 2, -1)
Para o parâmetro mu :
lambda = 0, mu = 1 Rightarrow v = (3cdot1, 2cdot0 - 1, -0 + 2cdot1) = (3, -1, 2)
Então, temos dois vetores no plano: u = (0, 2, -1) e v = (3, -1, 2) .

Passo 4

Para encontrar um vetor normal ao plano, vamos calcular o produto vetorial desses dois vetores diretores. O produto vetorial de u e v dá um vetor que é perpendicular a ambos, ou seja, ao plano.
Calculando u times v :
u times v = i & j & k 0 & 2 & -1 3 & -1 & 2 = i(2 cdot 2 - (-1) cdot (-1)) - j(0 cdot 2 - (-1) cdot 3) + k(0 cdot (-1) - 2 cdot 3)
= i(4 - 1) - j(0 + 3) + k(0 - 6)
= 3i - 3j - 6k
Simplificando, podemos dividir por 3 e obter:
n = (1, -1, -2)
Esse é o vetor normal ao plano pi .

Resposta

Um ponto no plano pi é (2, 1, 0) e um vetor normal ao plano é n = (1, -1, -2) .

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