A respeito da parábola de equação y=a x^2+b x+c sabe-se que:
i. em x=1, a reta tangente é horizontal;
ii. a reta tangente no ponto (0,2) forma com o eixo O x um ângulo de 45^circ.
Determine a, b e $c.

Passo 1

O enunciado dá a parábola y = a x^2 + b x + c e pede a, b e c usando duas condições de tangente. Para isso vamos usar que a derivada
y' = 2a x + b
é o coeficiente angular da reta tangente e que esse coeficiente satisfaz: reta horizontal Rightarrow coeficiente zero; reta que faz ângulo alpha com o eixo Ox tem coeficiente m = tan(alpha). Também usamos que o ponto (x,y) pertence à parábola se y = a x^2 + b x + c.

Passo 2

A reta tangente em x=1 é horizontal, logo
y'(1) = 2acdot1 + b = 0
que fornece a equação
2a + b = 0

Passo 3

A reta tangente no ponto (0,2) forma 45^circ com o eixo Ox, então seu coeficiente é
m = tan(45^circ) = 1,
e como y'(0) = b, vem
b = 1
Além disso, como (0,2) pertence à parábola, temos
c = y(0) = 2

Passo 4

Substituindo b=1 na equação 2a + b = 0 obtemos
2a + 1 = 0 Longrightarrow a = -12

Resposta

a = -dfrac12, b = 1, c = 2.

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