Encontre a série de Taylor ou MacLaurin em torno do ponto c dado para as seguintes funções. Determine os valores de x para os quais a série converge.
sumk=2^infty 1(ln k)^k(x-1)^k

Passo 1

O enunciado nos dá uma série de potências centrada em c=1, já na forma de expansão de Taylor de uma função f:
sumk=2^infty 1(ln k)^k,(x-1)^k
Queremos apenas identificar essa expansão (ela própria) e determinar para quais x ela converge. O conteúdo é séries de potências e teste da raiz para achar o raio de convergência.

Passo 2

Aplicamos o teste da raiz à série de termos
ak(x-1)^k, ak = 1(ln k)^k
Calculamos
limktoinfty raiz[k]l|ak,(x-1)^kr| = limktoinfty |x-1|ln k = 0
Como esse limite é menor que 1 para qualquer x, a série converge para todo x.

Passo 3

Do teste da raiz obtemos 1/R = 0, ou seja, o raio de convergência é
R = +infty
Logo a série converge para todo xinR.

Resposta

A expansão de Taylor de f em torno de x=1 é
f(x)=sumk=2^infty(x-1)^k(ln k)^k
e ela converge para todo xinR.

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