Escreva a equação em coordenadas esféricas.
x^2+y^2=2 z

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente transformar a superfície dada por
x^2+y^2=2,z
para coordenadas esféricas.
Conteúdo: sistema de coordenadas esféricas e como trocar de (x,y,z) para (rho,theta,varphi).
O que precisamos: as fórmulas de conversão
x = rho ,sinvarphicostheta, y = rho ,sinvarphisintheta, z = rho ,cosvarphi

Passo 2

Primeiro, a gente lembra que em esféricas
x^2+y^2=(rhosinvarphicostheta)^2+(rhosinvarphisintheta)^2 =rho^2sin^2varphil(cos^2theta+sin^2thetar) =rho^2sin^2varphi
E também
2z=2l(rhocosvarphir)=2rhocosvarphi

Passo 3

Agora é só substituir na equação original:
x^2+y^2=2z Longrightarrow rho^2sin^2varphi ;=; 2rhocosvarphi

Passo 4

A gente resolve essa igualdade:
  1. Se rho=0, é só a origem (caso trivial).
  2. Para rhoneq0, divide rho dos dois lados:
rho,sin^2varphi = 2cosvarphi Longrightarrow rho = 2cosvarphisin^2varphi

Resposta

A equação x^2+y^2=2z em coordenadas esféricas fica
boxedrho = 2cosvarphisin^2varphi,
ou, equivalentemente,
rho,sin^2varphi = 2cosvarphi

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