Encontre a Série de Taylor, em torno de x_{0}, das funções:
f(x)=\frac{1}{x}, x_{0}=-1.

Passo 1

O enunciado pede a série de Taylor de f(x)=\frac{1}{x} em torno de x_{0}=-1. Para isso, vamos usar a definição
f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(x_{0})}{n!}(x-x_{0})^{n},
logo precisaremos de uma fórmula geral para f^{(n)}(x) e depois avaliá-la em x=-1.

Passo 2

Vamos calcular a derivada de ordem n de f(x)=x^{-1}. Por indução ou pela regra de derivação sucessiva de potências, obtém-se
f^{(n)}(x)=(-1)^{n}\,n!\,x^{-1-n}.

Passo 3

Agora avaliamos essa fórmula em x_{0}=-1:
f^{(n)}(-1)=(-1)^{n}\,n!\,(-1)^{-1-n} =\;n!\;(-1)^{n-n-1} =\;-\,n!.

Passo 4

O coeficiente geral da série é
a_{n}=\frac{f^{(n)}(-1)}{n!}=-1,
portanto
\frac{1}{x} =\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}\,(x+1)^{n} =-\sum_{n=0}^{\infty}(x+1)^{n}.

Passo 5

A série converge enquanto |x+1|<1, pois foi obtida da forma
\frac{1}{-1+h}=-\frac{1}{1-h}=-\sum_{n=0}^\infty h^n com h=x+1.

Resposta

\frac{1}{x}=-\sum_{n=0}^{\infty}(x+1)^{n}, \qquad |x+1|<1.

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