Use séries de potências para resolver, em cada caso, o problema de valor inicial:
y-y^{\prime}=0, \quad y^{\prime}(0)=1.

Passo 1

O enunciado pede para resolver, via séries de potências, o problema de valor inicial
y - y' = 0, \qquad y'(0)=1.
O conteúdo que vamos usar é a expansão em série de potências de y(x) e de sua derivada, e depois igualar coeficientes para obter uma relação de recorrência entre os a_n.

Passo 2

Suponha que
y(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n\,x^n.
Então
y'(x)=\sum_{n=1}^{\infty}n\,a_n\,x^{n-1} =\sum_{n=0}^{\infty}(n+1)\,a_{n+1}\,x^n.

Passo 3

Substituindo em y-y'=0 obtemos
\sum_{n=0}^{\infty}a_n\,x^n -\sum_{n=0}^{\infty}(n+1)\,a_{n+1}\,x^n =0.
Logo, para todo n\ge0,
a_n-(n+1)\,a_{n+1}=0 \quad\Longrightarrow\quad a_{n+1}=\frac{a_n}{\,n+1\,}.

Passo 4

A condição y'(0)=1 diz que
y'(0)=(1)\,a_1=1 \quad\Longrightarrow\quad a_1=1.
Para n=0 na recorrência vem a_1=a_0/1, logo a_0=1.
Usando a_{n+1}=a_n/(n+1) e a_0=1 segue por indução
a_n=\frac1{n!},
de modo que
y(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}=e^x.

Resposta

y(x)=e^x.

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