Estabeleça se cada uma das sequências indicadas converge ou diverge e, se convergir, determine o limite.
a_{n}=\sqrt[3]{n}.

Passo 1

O enunciado pede para analisarmos a sequência
a_{n} = \sqrt[3]{n},
verificando se ela converge (isto é, possui limite finito) ou diverge, e, no caso de convergência, calcular o seu limite. O conteúdo envolvido é análise de sequências reais e comportamento assintótico para n\to\infty.

Passo 2

Para entender o comportamento de a_{n} quando n cresce, podemos usar o fato de que a função f(x)=x^{1/3} é crescente e não tem teto superior: à medida que x aumenta, x^{1/3} também aumenta sem se aproximar de nenhum valor finito. Mais formalmente, escrevemos
a_{n} = n^{1/3} = \exp\bigl(\tfrac{1}{3}\ln n\bigr).
Como \ln n\to\infty quando n\to\infty, a quantidade \tfrac{1}{3}\ln n também tende a +\infty, e daí
\exp\bigl(\tfrac{1}{3}\ln n\bigr)\;\longrightarrow\;+\infty.

Passo 3

Logo,
\lim_{n\to\infty}a_{n} = \lim_{n\to\infty}\sqrt[3]{n} = +\infty,
ou seja, a sequência não converge para um número real, mas diverge ao infinito.

Resposta

A sequência diverge (tende a +\infty).

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