Estabeleça se cada uma das sequências indicadas converge ou diverge e, se convergir, determine o limite.
.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a sequência
converge ou diverge e, em caso de convergência, determinar o limite.
Estamos no tópico de sequências numéricas e vamos usar o comportamento assintótico de potências para ver qual termo domina para .
Estamos no tópico de sequências numéricas e vamos usar o comportamento assintótico de potências para ver qual termo domina para
Passo 2
Para
muito grande, o termo
cresce exponencialmente, enquanto
é apenas uma constante. Logo, para
grande vale
Isso significa que, na razão, o denominador se comporta como
quando
.
Passo 3
Substituindo essa estimativa em
, obtemos
Como
, a sequência
cresce sem limite, isto é, tende a
.
Passo 4
Portanto,
tende ao mesmo comportamento explosivo de
. Logo
o que significa que a sequência diverge.
Resposta
A sequência diverge, pois
.