Estabeleça se cada uma das sequências indicadas converge ou diverge e, se convergir, determine o limite.
a_{n}=\frac{3^{n}}{2^{n}+10^{10}}.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a sequência
a_{n} = \frac{3^{n}}{2^{n} + 10^{10}}
converge ou diverge e, em caso de convergência, determinar o limite.
Estamos no tópico de sequências numéricas e vamos usar o comportamento assintótico de potências para ver qual termo domina para n\to\infty.

Passo 2

Para n muito grande, o termo 2^{n} cresce exponencialmente, enquanto 10^{10} é apenas uma constante. Logo, para n grande vale
2^{n} + 10^{10} \sim 2^{n}.
Isso significa que, na razão, o denominador se comporta como 2^{n} quando n\to\infty.

Passo 3

Substituindo essa estimativa em a_{n}, obtemos
a_{n} = \frac{3^{n}}{2^{n} + 10^{10}} \sim \frac{3^{n}}{2^{n}} = \biggl(\frac{3}{2}\biggr)^{n}.
Como \tfrac{3}{2}>1, a sequência \bigl(\tfrac{3}{2}\bigr)^{n} cresce sem limite, isto é, tende a +\infty.

Passo 4

Portanto, a_{n} tende ao mesmo comportamento explosivo de \bigl(\tfrac{3}{2}\bigr)^{n}. Logo
\lim_{n\to\infty} a_{n} = +\infty,
o que significa que a sequência diverge.

Resposta

A sequência diverge, pois \lim_{n\to\infty}a_{n}=+\infty.

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