Estabeleça se cada uma das sequências indicadas converge ou diverge e, se convergir, determine o limite.
a_{n}=\sin \frac{\pi}{5 n}.

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da sequência
a_{n} = \sin\!\biggl(\frac{\pi}{5\,n}\biggr).
O tema é limites de sequência numérica e vamos usar propriedades da função seno e o teorema do confronto (ou a continuidade de \sin).

Passo 2

Definimos
x_{n} = \frac{\pi}{5\,n}.
Como \displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac1n = 0, temos
\lim_{n\to\infty} x_{n} = \lim_{n\to\infty}\frac{\pi}{5\,n} = 0.

Passo 3

Sabemos que \sin é contínua em todo \mathbb{R}, logo
\lim_{n\to\infty}a_{n} = \lim_{n\to\infty}\sin(x_{n}) = \sin\!\bigl(\lim_{n\to\infty}x_{n}\bigr) = \sin(0) = 0.
Alternativamente, pelo teorema do confronto, como
\bigl|\sin(x_{n})\bigr|\le |x_{n}| = \frac{\pi}{5\,n}
e \frac{\pi}{5\,n}\to0, segue que a_{n}\to0.

Resposta

A sequência converge e
\lim_{n\to\infty}a_{n} = 0.

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