Encontre as séries de Fourier das funções nos intervalos especificados.
f(x)=\left\{\begin{aligned} 0, & -\pi<x<0 \\\ \cos (x), & 0<x<\pi\end{aligned}\right.

Passo 1

O enunciado define a função periódica de período 2\pi\) dada em \(-\pi<x<\pi\) por \[f(x)= \begin{cases} 0,& -\pi<x<0,\\\ \cos(x),& 0<x<\pi. \end{cases}
Queremos sua série de Fourier na forma
f(x)\sim \frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\bigl(a_{n}\cos(nx)+b_{n}\sin(nx)\bigr).
Para isso usaremos as fórmulas
a_{n}=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(nx)\,\mathrm{d}x, \quad b_{n}=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin(nx)\,\mathrm{d}x.
Como f(x)=0\] em \(-\pi<x<0, as integrais valem só de 0 a \pi.

Passo 2

Calcular a_{0}:
a_{0}=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\,\mathrm{d}x =\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}\cos(x)\,\mathrm{d}x =\frac{1}{\pi}\bigl[\sin(x)\bigr]_{0}^{\pi} =\frac{0-0}{\pi}=0.

Passo 3

Calcular a_{n} para n\ge1:
a_{n} =\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}\cos(x)\cos(nx)\,\mathrm{d}x =\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{\pi}\bigl[\cos((n+1)x)+\cos((n-1)x)\bigr]\mathrm{d}x.
Para n\neq1 cada termo em seno avaliado em 0 e \pi dá zero, logo a_{n}=0.
No caso n=1:
a_{1} =\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}\cos^{2}(x)\,\mathrm{d}x =\frac{1}{\pi}\cdot\frac{\pi}{2} =\frac12.

Passo 4

Calcular b_{n} para n\ge1:
b_{n} =\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}\cos(x)\sin(nx)\,\mathrm{d}x =\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{\pi}\bigl[\sin((n+1)x)-\sin((n-1)x)\bigr]\mathrm{d}x.
Após integrar por partes ou usar soma de senos, obtém-se
b_{n} =-\frac{(-1)^{n}+1}{\pi\,(n^{2}-1)}.
Como (-1)^{n}+1=0 para n ímpar e =2 para n par, conclui-se
b_{n}=0\quad(\text{\(n\) ímpar}), \qquad b_{2k}=-\frac{2}{\pi\bigl((2k)^{2}-1\bigr)} =-\frac{2}{\pi\,(4k^{2}-1)}.í

Passo 5

Reunindo tudo, a_{0}=0, só existe termo de cosseno para n=1 e termos de seno para n=2k. A série fica
f(x) =\frac12\cos(x) +\sum_{k=1}^{\infty}b_{2k}\,\sin(2k\,x) =\frac12\cos(x) -\frac{2}{\pi}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\sin(2k\,x)}{4k^{2}-1}.

Resposta

\boxed{ f(x) =\frac12\cos(x) -\frac{2}{\pi}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\sin(2k\,x)}{4k^{2}-1} }

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