Encontre as séries de Fourier das funções nos intervalos especificados.
f(x)=|2 x-1|, \quad-1<x<1.

Passo 1

Temos f(x)=|2x-1| definido em -1<x<1. Vamos estender f como função periódica de período 2. O objetivo é achar sua série de Fourier na forma
f(x)=\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\Bigl[a_{n}\cos(n\pi x)+b_{n}\sin(n\pi x)\Bigr],
sendo L=1. Para isso precisamos:
1. Escrever f(x) em forma piecewise em [-1,1].
2. Calcular
a_{0}=\int_{-1}^{1}f(x)\,dx,\quad a_{n}=\int_{-1}^{1}f(x)\cos(n\pi x)\,dx,\quad b_{n}=\int_{-1}^{1}f(x)\sin(n\pi x)\,dx.

Passo 2

Primeiro, note que 2x-1<0 quando x<\tfrac12 e 2x-1\ge0 quando x\ge\tfrac12. Logo, em [-1,1],
f(x)= \begin{cases} 1-2x, & -1\le x<\tfrac12,\\\\ 2x-1, & \tfrac12\le x\le1. \end{cases}

Passo 3

Calculemos a_{0}:
a_{0}=\int_{-1}^{1}f(x)\,dx =\int_{-1}^{1/2}(1-2x)\,dx+\int_{1/2}^{1}(2x-1)\,dx.
Fazendo as integrais:
\int_{-1}^{1/2}(1-2x)\,dx =\Bigl[x - x^{2}\Bigr]_{-1}^{1/2} =\frac{9}{4},\quad \int_{1/2}^{1}(2x-1)\,dx =\Bigl[x^{2}-x\Bigr]_{1/2}^{1} =\frac{1}{4}.
Logo
a_{0}=\frac{9}{4}+\frac{1}{4}=\frac{5}{2},
e o termo constante da série é \tfrac{a_{0}}{2}=\tfrac{5}{4}.

Passo 4

Agora a_{n}=\int_{-1}^{1}f(x)\cos(n\pi x)\,dx. Particionando:
a_{n} =\int_{-1}^{1/2}(1-2x)\cos(n\pi x)\,dx +\int_{1/2}^{1}(2x-1)\cos(n\pi x)\,dx.
Após integração por partes e simplificações (ver Apêndice de contas),
obtém-se
a_{n} =\frac{4}{n^{2}\pi^{2}}\Bigl[(-1)^{n}-\cos\Bigl(\tfrac{n\pi}{2}\Bigr)\Bigr].

Passo 5

De modo semelhante,
b_{n} =\int_{-1}^{1}f(x)\sin(n\pi x)\,dx
parte–cionando em [-1,1/2] e [1/2,1] e usando partes, chega-se a
b_{n} =\frac{2(-1)^{n}}{n\pi} -\frac{4}{n^{2}\pi^{2}}\, \sin\Bigl(\tfrac{n\pi}{2}\Bigr).

Passo 6

Reunindo tudo, a série de Fourier de f é
\boxed{ f(x) =\frac{5}{4} +\sum_{n=1}^{\infty} \Biggl[ \frac{4\bigl((-1)^{n}-\cos(\tfrac{n\pi}{2})\bigr)}{n^{2}\pi^{2}}\, \cos(n\pi x) \;+\; \Bigl(\frac{2(-1)^{n}}{n\pi} -\frac{4\sin(\tfrac{n\pi}{2})}{n^{2}\pi^{2}}\Bigr)\, \sin(n\pi x) \Biggr]. }

Resposta

f(x) =\frac{5}{4} +\sum_{n=1}^{\infty} \Biggl[ \frac{4\bigl((-1)^{n}-\cos(\tfrac{n\pi}{2})\bigr)}{n^{2}\pi^{2}}\, \cos(n\pi x) +\Bigl(\frac{2(-1)^{n}}{n\pi} -\frac{4\sin(\tfrac{n\pi}{2})}{n^{2}\pi^{2}}\Bigr)\, \sin(n\pi x) \Biggr].

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