J) Determine a convergência ou divergência das séries e explicite o teste utilizado:
sum arctg kk^2

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a série
sumk=1^inftyarctan kk^2
converge ou diverge. O conteúdo aqui é séries de termos positivos, e vamos usar o teste da comparação (direta ou por limite) com uma p-série conhecida.

Passo 2

Observamos que, para todo k>=1,
0<arctan k<pi2
Logo, os termos da série satisfazem
0<arctan kk^2<pi2k^2 =pi2cdot1k^2

Passo 3

Sabemos que a série
sumk=1^infty1k^2
é convergente, pois é uma p-série com p=2>1. Multiplicar por constante não muda a convergência, então
sumk=1^inftypi/2k^2
também converge.

Passo 4

Como 0<=arctan kk^2<=pi/2k^2 e a série maior converge, pelo teste da comparação direta concluímos que
sumk=1^inftyarctan kk^2
também converge.

Resposta

A série é convergente (pelo teste da comparação com a p-série sum 1/k^2).

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