J) Determine a convergência ou divergência das séries e explicite o teste utilizado:
Passo 1
A série que temos é
. O tópico aqui é estudo de séries numéricas e, em particular, vamos usar o teste da divergência, que verifica se o termo geral tende a zero (condição necessária para convergência).
Passo 2
O teste da divergência diz que, se
é o termo geral de uma série e
, então a série diverge. Aqui temos
.
Vamos calcular o limite do termo geral:
Vamos calcular o limite do termo geral:
Passo 3
Como
cresce de ordem linear e
cresce muito mais devagar, o quociente cresce sem limite. Em outras palavras,
Passo 4
Portanto
.
Pelo teste da divergência, a série não pode convergir se o termo geral não tende a zero. Logo, ela diverge.
Pelo teste da divergência, a série não pode convergir se o termo geral não tende a zero. Logo, ela diverge.
Resposta
A série diverge, por teste da divergência (termo geral não tende a zero).