J) Determine a convergência ou divergência das séries e explicite o teste utilizado:
sum k+12 ln k

Passo 1

A série que temos é sumk=2^infty k+12ln k. O tópico aqui é estudo de séries numéricas e, em particular, vamos usar o teste da divergência, que verifica se o termo geral tende a zero (condição necessária para convergência).

Passo 2

O teste da divergência diz que, se ak é o termo geral de uma série e limktoinfty ak neq 0, então a série diverge. Aqui temos ak = tfrack+12ln k.
Vamos calcular o limite do termo geral:
limktoinfty k+12ln k

Passo 3

Como k+1 cresce de ordem linear e ln k cresce muito mais devagar, o quociente cresce sem limite. Em outras palavras,
k+12ln k sim k2ln k to infty

Passo 4

Portanto limktoinfty ak = infty neq 0.
Pelo teste da divergência, a série não pode convergir se o termo geral não tende a zero. Logo, ela diverge.

Resposta

A série diverge, por teste da divergência (termo geral não tende a zero).

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