Encontre uma solução particular para as equaçÔes abaixo.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar uma solução particular da EDO de segunda ordem não-homogênea
. O conteúdo aqui é método dos coeficientes indeterminados para uma equação linear com coeficientes constantes. Vamos precisar saber a forma da solução geral da parte homogênea para checar possíveis ressonâncias e, em seguida, propor um palpite para
.
Passo 2
Primeiro, analisamos a parte homogênea associada:
A equação característica é
, com raízes
. Isso gera a solução homogênea
Como o termo não-homogêneo
não coincide com funções
ou
, não há ressonância.
Passo 3
Para o termo não-homogêneo
, fazemos o palpite de solução particular do tipo exponencial:
onde
é constante indeterminada.
Passo 4
Calculamos as derivadas de
:
Substituindo na EDO original
, temos:
Fatorando
:
Para qualquer
, igualamos os coeficientes de
:
Logo,
Passo 5
Substituindo
em
, obtemos a solução particular desejada.
Resposta
y_p(x) = \frac{2^x}{(\ln 2)^2 + 1}