Encontre uma solução particular para as equaçÔes abaixo.
y^prime prime+y=2^x

Passo 1

O enunciado pede para encontrar uma solução particular da EDO de segunda ordem não-homogênea y'' + y = 2^x. O conteúdo aqui é método dos coeficientes indeterminados para uma equação linear com coeficientes constantes. Vamos precisar saber a forma da solução geral da parte homogênea para checar possíveis ressonâncias e, em seguida, propor um palpite para yp.

Passo 2

Primeiro, analisamos a parte homogênea associada:
y'' + y = 0
A equação característica é r^2 + 1 = 0, com raízes r = pm i. Isso gera a solução homogênea
yh(x) = C1cos x + C2sin x
Como o termo não-homogêneo 2^x não coincide com funções cos x ou sin x, não há ressonância.

Passo 3

Para o termo não-homogêneo 2^x = e^xln 2, fazemos o palpite de solução particular do tipo exponencial:
yp(x) = A,2^x = A e^xln 2
onde A é constante indeterminada.

Passo 4

Calculamos as derivadas de yp:
yp'(x) = A,2^xln 2,
yp''(x) = A,2^x(ln 2)^2
Substituindo na EDO original y'' + y = 2^x, temos:
A,2^x(ln 2)^2 + A,2^x = 2^x
Fatorando A,2^x:
A,2^xl((ln 2)^2 + 1r) = 2^x
Para qualquer x, igualamos os coeficientes de 2^x:
Al((ln 2)^2 + 1r) = 1
Logo,
A = 1(ln 2)^2 + 1

Passo 5

Substituindo A em yp(x), obtemos a solução particular desejada.

Resposta

y_p(x) = \frac{2^x}{(\ln 2)^2 + 1}

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