De que modos é possível combinar 50 moedas, misturando moedas de 1, de 10 e de 25 centavos, de modo a totalizar 3 reais?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir de quantas maneiras dá pra combinar 50 moedas, usando moedas de 1, 10 e 25 centavos, de modo a totalizar 3 reais. A matéria envolvida aqui é a combinatória e equações lineares. Vamos precisar montar umas equações para representar essa situação e achar as possíveis combinações.
Passo 2
Primeiro, vamos definir o que cada variável vai representar:
- Seja
o número de moedas de 1 centavo. - Seja
o número de moedas de 10 centavos. - Seja
o número de moedas de 25 centavos.
Passo 3
Sabemos que, no total, temos 50 moedas. Então, podemos escrever a primeira equação assim:
Passo 4
Também sabemos que o valor total das moedas é de 3 reais, que são 300 centavos. Então, a segunda equação fica:
Passo 5
Agora, vamos resolver esse sistema de equações. A ideia é expressar uma variável em termos das outras e substituir na outra equação. Vamos resolver a primeira equação para
:
Passo 6
Substituindo
na segunda equação:
Simplificando isso:
Então, temos:
Passo 7
Agora, precisamos encontrar valores inteiros para
e
que satisfaçam essa equação. Observamos que o lado esquerdo
é divisível por 3, já que 9 e 24 são múltiplos de 3. Portanto, o lado direito também precisa ser divisível por 3 para que haja solução inteira.
Calculando
, temos aproximadamente 83,33, o que não é um número inteiro. Isso indica que não há valores inteiros de
e
que satisfaçam a equação.
Passo 8
Como não há soluções inteiras para
e
, concluímos que não é possível combinar 50 moedas de 1, 10 e 25 centavos para totalizar exatamente 3 reais.
Resposta
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