De que modos é possível combinar 50 moedas, misturando moedas de 1, de 10 e de 25 centavos, de modo a totalizar 3 reais?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir de quantas maneiras dá pra combinar 50 moedas, usando moedas de 1, 10 e 25 centavos, de modo a totalizar 3 reais. A matéria envolvida aqui é a combinatória e equações lineares. Vamos precisar montar umas equações para representar essa situação e achar as possíveis combinações.

Passo 2

Primeiro, vamos definir o que cada variável vai representar:
  • Seja x o número de moedas de 1 centavo.
  • Seja y o número de moedas de 10 centavos.
  • Seja z o número de moedas de 25 centavos.

Passo 3

Sabemos que, no total, temos 50 moedas. Então, podemos escrever a primeira equação assim:
x + y + z = 50

Passo 4

Também sabemos que o valor total das moedas é de 3 reais, que são 300 centavos. Então, a segunda equação fica:
1x + 10y + 25z = 300

Passo 5

Agora, vamos resolver esse sistema de equações. A ideia é expressar uma variável em termos das outras e substituir na outra equação. Vamos resolver a primeira equação para x :
x = 50 - y - z

Passo 6

Substituindo x na segunda equação:
(50 - y - z) + 10y + 25z = 300
Simplificando isso:
50 - y - z + 10y + 25z = 300
50 + 9y + 24z = 300
Então, temos:
9y + 24z = 250

Passo 7

Agora, precisamos encontrar valores inteiros para y e z que satisfaçam essa equação. Observamos que o lado esquerdo 9y + 24z é divisível por 3, já que 9 e 24 são múltiplos de 3. Portanto, o lado direito também precisa ser divisível por 3 para que haja solução inteira.
Calculando 250 div 3 , temos aproximadamente 83,33, o que não é um número inteiro. Isso indica que não há valores inteiros de y e z que satisfaçam a equação.

Passo 8

Como não há soluções inteiras para y e z , concluímos que não é possível combinar 50 moedas de 1, 10 e 25 centavos para totalizar exatamente 3 reais.

Resposta

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