Use sistemas completo de restos convenientes para provar que:
Se a é impar,
Se a é impar,
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, se
é um inteiro ímpar, então
O conteúdo principal é congruência de inteiros e sistema completo de restos módulo
. Vamos usar um sistema de restos que contém apenas as classes de inteiros ímpares módulo
, calcular seus quadrados e verificar que todos dão resto
.
Passo 2
Lembrando que um sistema completo de restos módulo
é um conjunto de exatamente oito representantes das classes de congruência em
. O sistema usual é
Como
é ímpar, sua classe deve corresponder a um dos restos ímpares em
, ou seja
Passo 3
Vamos calcular o quadrado de cada um desses quatro restos e verificar o resultado módulo
:
Passo 4
Como todo inteiro ímpar
satisfaz uma das congruências
e em cada caso
, concluímos que para qualquer ímpar
vale
Resposta
O quadrado de todo inteiro ímpar é congruente a
módulo
. Portanto: