Use sistemas completo de restos convenientes para provar que:
Se a é impar, a^{2} \equiv 1(\bmod 8)

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, se a é um inteiro ímpar, então
a^{2}\equiv 1\pmod{8}.
O conteúdo principal é congruência de inteiros e sistema completo de restos módulo 8. Vamos usar um sistema de restos que contém apenas as classes de inteiros ímpares módulo 8, calcular seus quadrados e verificar que todos dão resto 1.

Passo 2

Lembrando que um sistema completo de restos módulo 8 é um conjunto de exatamente oito representantes das classes de congruência em \mathbb{Z}/8\mathbb{Z}. O sistema usual é
\{0,1,2,3,4,5,6,7\}.
Como a é ímpar, sua classe deve corresponder a um dos restos ímpares em \{0,1,\dots,7\}, ou seja
a\equiv 1,3,5\text{ ou }7\pmod{8}.

Passo 3

Vamos calcular o quadrado de cada um desses quatro restos e verificar o resultado módulo 8:
1^{2}=1\equiv 1\pmod{8},
3^{2}=9=8+1\equiv 1\pmod{8},
5^{2}=25=3\cdot8+1\equiv 1\pmod{8},
7^{2}=49=6\cdot8+1\equiv 1\pmod{8}.

Passo 4

Como todo inteiro ímpar a satisfaz uma das congruências a\equiv 1,3,5,7\pmod{8} e em cada caso a^{2}\equiv 1\pmod{8}, concluímos que para qualquer ímpar a vale
a^{2}\equiv 1\pmod{8}.

Resposta

O quadrado de todo inteiro ímpar é congruente a 1 módulo 8. Portanto:
\text{Se \(a\) é ímpar, então }a^{2}\equiv 1\pmod{8}.éíã

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