Mostre que 0,1,2,2^{2}, \ldots, 2^{9} formam um sistema completo de vestos, módulo 11 , mas que o mesmonao acontece com 0,1^{2}, 2^{2}, 3^{2}, \ldots, 10^{2}.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o conjunto
\{0,2^0,2^1,2^2,\dots,2^9\}
é um sistema completo de resíduos módulo 11, isto é, suas 11 entradas (contando o zero) representam todas as classes de resto mod 11. Em seguida, precisamos verificar que o conjunto
\{0,1^2,2^2,3^2,\dots,10^2\}
não forma sistema completo, ou seja, não atinge todos os restos de 0 a 10. Para isso vamos calcular diretamente os restos e usar o fato de que, para primo p, a^{p-1}\equiv1\pmod p quando p\nmid a.

Passo 2

Calculemos as potências de 2 módulo 11:
2^0 = 1,\quad 2^1 = 2,\quad 2^2 = 4,\quad 2^3 = 8.
Continuando e reduzindo módulo 11:
2^4 = 16 \equiv 5 \pmod{11},\quad 2^5 = 2^4\cdot2\equiv5\cdot2=10\pmod{11},
2^6\equiv10\cdot2=20\equiv9\pmod{11},\quad 2^7\equiv9\cdot2=18\equiv7\pmod{11},
2^8\equiv7\cdot2=14\equiv3\pmod{11},\quad 2^9\equiv3\cdot2=6\pmod{11}.
Logo o conjunto \{2^k\bmod11:0\le k\le9\} vale
\{1,2,4,8,5,10,9,7,3,6\},
que são exatamente as dez classes não nulas módulo 11.

Passo 3

Adicionando o zero, obtemos
\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\},
ou seja, todas as 11 classes de resto mod 11. Portanto \{0,2^0,2^1,\dots,2^9\} é sistema completo de resíduos módulo 11. Note que também decorre de
2^{10}\equiv1\pmod{11}
(por Fermat) que a ordem de 2 em (\mathbb{Z}/11)^\times é 10, mostrando que 2 é raiz primitiva de 11.

Passo 4

Agora calculemos os quadrados de 0 a 10 módulo 11:
0^2=0,\quad1^2=1,\quad2^2=4,\quad3^2=9,\quad4^2=16\equiv5,
5^2=25\equiv3,\quad6^2=36\equiv3,\quad7^2=49\equiv5,\quad8^2=64\equiv9,
9^2=81\equiv4,\quad10^2=100\equiv1\pmod{11}.
Os valores distintos são
\{0,1,3,4,5,9\},
apenas 6 restos, não todas as 11 classes.

Resposta

O conjunto \{0,2^0,2^1,\dots,2^9\} gera \{0,1,\dots,10\} e é sistema completo de resíduos mod 11, enquanto \{0,1^2,2^2,\dots,10^2\} produz só \{0,1,3,4,5,9\} e não é completo.

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