Mostre que
formam um sistema completo de vestos, módulo 11 , mas que o mesmonao acontece com
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que o conjunto
é um sistema completo de resíduos módulo , isto é, suas 11 entradas (contando o zero) representam todas as classes de resto mod
. Em seguida, precisamos verificar que o conjunto
não forma sistema completo, ou seja, não atinge todos os restos de a
. Para isso vamos calcular diretamente os restos e usar o fato de que, para primo
,
quando
.
é um sistema completo de resíduos módulo
não forma sistema completo, ou seja, não atinge todos os restos de
Passo 2
Calculemos as potências de
módulo
:
Continuando e reduzindo módulo
:
Logo o conjunto
vale
que são exatamente as dez classes não nulas módulo
.
Passo 3
Adicionando o zero, obtemos
ou seja, todas as 11 classes de resto mod
. Portanto
é sistema completo de resíduos módulo
. Note que também decorre de
(por Fermat) que a ordem de
em
é
, mostrando que
é raiz primitiva de
.
Passo 4
Agora calculemos os quadrados de
a
módulo
:
Os valores distintos são
apenas 6 restos, não todas as 11 classes.
Resposta
O conjunto
gera
e é sistema completo de resíduos mod
, enquanto
produz só
e não é completo.