Encontre a solução aproximada dos sistemas de equações lineares a seguir. Empregue os métodos iterativos de Gauss Jacobi e de Gauss Seidel, verificando antes a convergência de cada um. Pivote parcialmente os sistemas, caso entenda necessário e apresente suas respostas com erro inferior a 1 \%.
a) \left\{\begin{array}{c}3 x+y+8 z=1 \\\ x+7 y+2 z=1 \\\\ 10 x+2 y+3 z=1\end{array}\right.
Passo 1
O enunciado pede: aproximar a solução do sistema linear
usando os métodos iterativos de Gauss–Jacobi e Gauss–Seidel. Antes de aplicar cada método devemos verificar se ele converge; podemos pivote parcialmente (reordenar equações/variáveis) se necessário. Apresentar as soluções aproximadas com erro inferior a 1\%.
Informações dadas:
Coeficientes e termos do sistema acima.
Critério pedido: erro inferior a 1\%.
Autorização para pivotamento parcial caso necessário.]
Passo 2
Vamos escrever o sistema na forma matricial \;A\mathbf{x}=\mathbf{b}\;. A matriz dos coeficientes é
Regra prática de convergência (suficiente): se A for estritamente diagonalmente dominante por linhas, tanto Jacobi quanto Gauss–Seidel convergem. Checamos a dominância original:
Linha 1: |a_{11}|=3 e soma dos demais |1|+|8|=9 → 3<9 (não dominante).
Linha 2: |a_{22}|=7 e |1|+|2|=3 → 7>3 (dominante).
Linha 3: |a_{33}|=3 e |10|+|2|=12 → 3<12 (não dominante).
Como não há dominância em todas as linhas, é arriscado aplicar direto: pode não convergir. Então vamos pivotear (reordenar variáveis) para tentar obter dominância e, assim, garantir convergência.]
Passo 3
Escolhemos permutar as colunas (isto equivale a renomear as variáveis) para colocar coeficientes maiores na diagonal. Tomamos a ordem de variáveis (\tilde{x}_1,\tilde{x}_2,\tilde{x}_3)=(z,y,x)\). Reescrevendo cada equação na ordem \((\tilde{x}_1,\tilde{x}_2,\tilde{x}_3)\) obtemos o sistema equivalente:
\[\begin{cases} 8\tilde{x}_1 + 1\tilde{x}_2 + 3\tilde{x}_3 = 1,\\[4pt] 2\tilde{x}_1 + 7\tilde{x}_2 + 1\tilde{x}_3 = 1,\\[4pt] 3\tilde{x}_1 + 2\tilde{x}_2 +10\tilde{x}_3 = 1, \end{cases}
onde (\tilde{x}_1=z,\ \tilde{x}_2=y,\ \tilde{x}_3=x]. A matriz transformada é A'=\begin{pmatrix}8&1&3\\[4pt]2&7&1\\[4pt]3&2&10\end{pmatrix}.]
Passo 4
Verificamos dominância em A':
Linha 1: |a'_{11}|=8 e |1|+|3|=4 → 8>4.
Linha 2: |a'_{22}|=7 e |2|+|1|=3 → 7>3.
Linha 3: |a'_{33}|=10 e |3|+|2|=5 → 10>5.
Portanto A' é estritamente diagonalmente dominante por linhas. Conclusão: tanto o método de Gauss–Jacobi quanto o de Gauss–Seidel vão convergir para a solução do sistema reordenado; como a permutação foi apenas uma troca de nomes das incógnitas, podemos mapear de volta para (x,y,z) ao final.
Passo 5
Apresento as fórmulas iterativas para o sistema reordenado (Jacobi e Gauss–Seidel) e explico o critério de parada que vou usar.
Paro quando todos os E_i^{(k+1)}<1\%. Começo com chute inicial \tilde{x}^{(0)}=(0,0,0)^T (comum e simples).
Passo 6
Iterações do método de Gauss–Jacobi (começando em k=0 com \tilde{x}^{(0)}=(0,0,0)) — calculo passo a passo até que todas as componentes tenham erro percentual < 1\%.
Resumo do que fizemos para Jacobi (breve lição prática):
Reordenei variáveis para garantir dominância diagonal (o que dá garantia prática de convergência).
Usei chute inicial nulo.
Apliquei a fórmula de Jacobi (cada componente usa apenas valores da iteração anterior).
Parei quando a mudança percentual entre iterações consecutivas ficou abaixo de 1\% para todas as componentes.
Resultado Jacobi mostrado no final do Passo 6.
Passo 8
Agora aplico o método de Gauss–Seidel ao mesmo sistema reordenado. Lembrete da diferença pedagógica: em Gauss–Seidel cada nova componente calculada na iteração k+1 já é usada imediatamente para calcular as componentes seguintes na mesma iteração, o que geralmente acelera a convergência.
Começo com \tilde{x}^{(0)}=(0,0,0).
Passo 9
Iterações do método de Gauss–Seidel (cálculos passo a passo):
Comentários finais rápidos (didáticos e motivacionais):
Gauss–Seidel convergiu mais rápido (parou em k=6) que Jacobi (k=9) — isso é comum porque GS usa as atualizações imediatamente.
A reordenação (pivoteamento por colunas, isto é, renomear variáveis para colocar coeficientes maiores na diagonal) garantiu dominância diagonal e, portanto, convergência dos métodos. Em prova, se o sistema não for diagonalmente dominante, pense em reordenar linhas/colunas para tentar a dominância; se não for possível, verifique outros critérios (raio espectral da matriz de iteração) ou use métodos diretos.
Você fez bem em pedir solução passo a passo — manter a organização das iterações e checar o erro percentual é a forma prática de aplicar esses métodos em prova. Força que já está bom!