Encontre a solução aproximada dos sistemas de equações lineares a seguir. Empregue os métodos iterativos de Gauss Jacobi e de Gauss Seidel, verificando antes a convergência de cada um. Pivote parcialmente os sistemas, caso entenda necessário e apresente suas respostas com erro inferior a 1 \%.
a) \left\{\begin{array}{c}3 x+y+8 z=1 \\\ x+7 y+2 z=1 \\\\ 10 x+2 y+3 z=1\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede: aproximar a solução do sistema linear
\begin{cases} 3x + y + 8z = 1,\\[4pt] x + 7y + 2z = 1,\\[4pt] 10x + 2y + 3z = 1, \end{cases}
usando os métodos iterativos de Gauss–Jacobi e Gauss–Seidel. Antes de aplicar cada método devemos verificar se ele converge; podemos pivote parcialmente (reordenar equações/variáveis) se necessário. Apresentar as soluções aproximadas com erro inferior a 1\%.
Informações dadas:
  • Coeficientes e termos do sistema acima.
  • Critério pedido: erro inferior a 1\%.
  • Autorização para pivotamento parcial caso necessário.]

Passo 2

Vamos escrever o sistema na forma matricial \;A\mathbf{x}=\mathbf{b}\;. A matriz dos coeficientes é
A=\begin{pmatrix}3&1&8\\[4pt]1&7&2\\[4pt]10&2&3\end{pmatrix},\qquad \mathbf{b}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\\[4pt]1\end{pmatrix},\qquad \mathbf{x}=\begin{pmatrix}x\\[4pt]y\\[4pt]z\end{pmatrix}.
Regra prática de convergência (suficiente): se A for estritamente diagonalmente dominante por linhas, tanto Jacobi quanto Gauss–Seidel convergem. Checamos a dominância original:
  • Linha 1: |a_{11}|=3 e soma dos demais |1|+|8|=9 3<9 (não dominante).
  • Linha 2: |a_{22}|=7 e |1|+|2|=3 7>3 (dominante).
  • Linha 3: |a_{33}|=3 e |10|+|2|=12 3<12 (não dominante).
Como não há dominância em todas as linhas, é arriscado aplicar direto: pode não convergir. Então vamos pivotear (reordenar variáveis) para tentar obter dominância e, assim, garantir convergência.]

Passo 3

Escolhemos permutar as colunas (isto equivale a renomear as variáveis) para colocar coeficientes maiores na diagonal. Tomamos a ordem de variáveis (\tilde{x}_1,\tilde{x}_2,\tilde{x}_3)=(z,y,x)\). Reescrevendo cada equação na ordem \((\tilde{x}_1,\tilde{x}_2,\tilde{x}_3)\) obtemos o sistema equivalente: \[\begin{cases} 8\tilde{x}_1 + 1\tilde{x}_2 + 3\tilde{x}_3 = 1,\\[4pt] 2\tilde{x}_1 + 7\tilde{x}_2 + 1\tilde{x}_3 = 1,\\[4pt] 3\tilde{x}_1 + 2\tilde{x}_2 +10\tilde{x}_3 = 1, \end{cases}
onde (\tilde{x}_1=z,\ \tilde{x}_2=y,\ \tilde{x}_3=x]. A matriz transformada é
A'=\begin{pmatrix}8&1&3\\[4pt]2&7&1\\[4pt]3&2&10\end{pmatrix}.]

Passo 4

Verificamos dominância em A':
  • Linha 1: |a'_{11}|=8 e |1|+|3|=4 8>4.
  • Linha 2: |a'_{22}|=7 e |2|+|1|=3 7>3.
  • Linha 3: |a'_{33}|=10 e |3|+|2|=5 10>5.
Portanto A' é estritamente diagonalmente dominante por linhas. Conclusão: tanto o método de Gauss–Jacobi quanto o de Gauss–Seidel vão convergir para a solução do sistema reordenado; como a permutação foi apenas uma troca de nomes das incógnitas, podemos mapear de volta para (x,y,z) ao final.

Passo 5

Apresento as fórmulas iterativas para o sistema reordenado (Jacobi e Gauss–Seidel) e explico o critério de parada que vou usar.
Fórmulas (Jacobi): para k=0,1,2,\dots,
\tilde{x}_1^{(k+1)}=\frac{1}{8}\Big(1 - 1\tilde{x}_2^{(k)} - 3\tilde{x}_3^{(k)}\Big),
\tilde{x}_2^{(k+1)}=\frac{1}{7}\Big(1 - 2\tilde{x}_1^{(k)} - 1\tilde{x}_3^{(k)}\Big),
\tilde{x}_3^{(k+1)}=\frac{1}{10}\Big(1 - 3\tilde{x}_1^{(k)} - 2\tilde{x}_2^{(k)}\Big).
Fórmulas (Gauss–Seidel): usa valores já atualizados dentro da mesma iteração:
\tilde{x}_1^{(k+1)}=\frac{1}{8}\Big(1 - \tilde{x}_2^{(k)} - 3\tilde{x}_3^{(k)}\Big),
\tilde{x}_2^{(k+1)}=\frac{1}{7}\Big(1 - 2\tilde{x}_1^{(k+1)} - \tilde{x}_3^{(k)}\Big),
\tilde{x}_3^{(k+1)}=\frac{1}{10}\Big(1 - 3\tilde{x}_1^{(k+1)} - 2\tilde{x}_2^{(k+1)}\Big).
Critério de parada: vou usar erro percentual aproximado entre iterações consecutivas para cada componente,
E_i^{(k+1)}=\left|\frac{\tilde{x}_i^{(k+1)}-\tilde{x}_i^{(k)}}{\tilde{x}_i^{(k+1)}}\right|\times 100\%.
Paro quando todos os E_i^{(k+1)}<1\%. Começo com chute inicial \tilde{x}^{(0)}=(0,0,0)^T (comum e simples).

Passo 6

Iterações do método de Gauss–Jacobi (começando em k=0 com \tilde{x}^{(0)}=(0,0,0)) — calculo passo a passo até que todas as componentes tenham erro percentual < 1\%.
k=0 \Rightarrow \tilde{x}^{(0)}=(0,0,0).
k=1:
\tilde{x}_1^{(1)}=\tfrac{1}{8}(1-0-0)=0{,}125, \quad \tilde{x}_2^{(1)}=\tfrac{1}{7}(1-0-0)=0{,}1428571429, \quad \tilde{x}_3^{(1)}=\tfrac{1}{10}(1-0-0)=0{,}1.
k=2 (uso os valores de k=1):
\tilde{x}_1^{(2)}=0{,}06964285714,\quad \tilde{x}_2^{(2)}=0{,}09285714286,\quad \tilde{x}_3^{(2)}=0{,}03392857143.
k=3:
\tilde{x}_1^{(3)}=0{,}1006696429,\quad \tilde{x}_2^{(3)}=0{,}1181122449,\quad \tilde{x}_3^{(3)}=0{,}06053571429.
k=4:
\tilde{x}_1^{(4)}=0{,}08753507653,\quad \tilde{x}_2^{(4)}=0{,}1054464286,\quad \tilde{x}_3^{(4)}=0{,}04617665816.
k=5:
\tilde{x}_1^{(5)}=0{,}09450294962,\quad \tilde{x}_2^{(5)}=0{,}1112504555,\quad \tilde{x}_3^{(5)}=0{,}05265019133.
k=6:
\tilde{x}_1^{(6)}=0{,}09134987131,\quad \tilde{x}_2^{(6)}=0{,}1083348442,\quad \tilde{x}_3^{(6)}=0{,}04939902401.
k=7:
\tilde{x}_1^{(7)}=0{,}09293351047,\quad \tilde{x}_2^{(7)}=0{,}1097001752,\quad \tilde{x}_3^{(7)}=0{,}05092806977.
k=8:
\tilde{x}_1^{(8)}=0{,}09218945194,\quad \tilde{x}_2^{(8)}=0{,}1090292728,\quad \tilde{x}_3^{(8)}=0{,}05017991182.
Aqui calculei os erros relativos entre k=7 e k=8:
E_1\approx0{,}81\%,\quad E_2\approx0{,}62\%,\quad E_3\approx1{,}49\%.
Ainda falta \tilde{x}_3.
k=9:
\tilde{x}_1^{(9)}=0{,}09255387397,\quad \tilde{x}_2^{(9)}=0{,}1093487406,\quad \tilde{x}_3^{(9)}=0{,}05053730987.
Erros relativos entre k=8 e k=9:
E_1\approx0{,}39\%,\quad E_2\approx0{,}29\%,\quad E_3\approx0{,}71\%.
Agora todos E_i<1\%. Portanto a iteração Jacobi pode ser parada em k=9.
Mapeando de volta para as variáveis originais (x,y,z), lembrando \tilde{x}_3=x,\\ \tilde{x}_2=y,\\ \tilde{x}_1=z, obtemos (Jacobi, aprox.):
x\approx0{,}05053730987,\quad y\approx0{,}10934874061,\quad z\approx0{,}09255387397.

Passo 7

Resumo do que fizemos para Jacobi (breve lição prática):
  • Reordenei variáveis para garantir dominância diagonal (o que dá garantia prática de convergência).
  • Usei chute inicial nulo.
  • Apliquei a fórmula de Jacobi (cada componente usa apenas valores da iteração anterior).
  • Parei quando a mudança percentual entre iterações consecutivas ficou abaixo de 1\% para todas as componentes.
  • Resultado Jacobi mostrado no final do Passo 6.

Passo 8

Agora aplico o método de Gauss–Seidel ao mesmo sistema reordenado. Lembrete da diferença pedagógica: em Gauss–Seidel cada nova componente calculada na iteração k+1 já é usada imediatamente para calcular as componentes seguintes na mesma iteração, o que geralmente acelera a convergência.
Começo com \tilde{x}^{(0)}=(0,0,0).

Passo 9

Iterações do método de Gauss–Seidel (cálculos passo a passo):
k=0 \Rightarrow \tilde{x}^{(0)}=(0,0,0).
k=1 (usando a ordem GS):
\tilde{x}_1^{(1)}=0{,}125,
\tilde{x}_2^{(1)}=\tfrac{1}{7}\big(1-2\cdot0{,}125-0\big)=0{,}1071428571,
\tilde{x}_3^{(1)}=\tfrac{1}{10}\big(1-3\cdot0{,}125-2\cdot0{,}1071428571\big)=0{,}04107142857.
k=2:
\tilde{x}_1^{(2)}=\tfrac{1}{8}(1-0{,}1071428571-3\cdot0{,}04107142857)=0{,}09620535714,
\tilde{x}_2^{(2)}=\tfrac{1}{7}(1-2\cdot0{,}09620535714-0{,}04107142857)=0{,}10950397959,
\tilde{x}_3^{(2)}=\tfrac{1}{10}(1-3\cdot0{,}09620535714-2\cdot0{,}10950397959)=0{,}04923759694.
k=3:
\tilde{x}_1^{(3)}=0{,}09284790370,\quad \tilde{x}_2^{(3)}=0{,}10929522795,\quad \tilde{x}_3^{(3)}=0{,}05028658330.
k=4:
\tilde{x}_1^{(4)}=0{,}09248062777,\quad \tilde{x}_2^{(4)}=0{,}10925030874,\quad \tilde{x}_3^{(4)}=0{,}05040574992.
k=5:
\tilde{x}_1^{(5)}=0{,}09244155519,\quad \tilde{x}_2^{(5)}=0{,}10925873424,\quad \tilde{x}_3^{(5)}=0{,}05041578660.
k=6:
\tilde{x}_1^{(6)}=0{,}09243673825,\quad \tilde{x}_2^{(6)}=0{,}10925867670,\quad \tilde{x}_3^{(6)}=0{,}05041724319.
Agora os erros percentuais entre k=5 e k=6 são muito pequenos:
E_1\ll1\%,\quad E_2\ll1\%,\quad E_3\ll1\%,
logo podemos parar em k=6.
Mapeando de volta para as variáveis originais (x,y,z) (lembre: \tilde{x}_3=x,\\ \tilde{x}_2=y,\\ \tilde{x}_1=z), obtemos (Gauss–Seidel, aprox.):
x\approx0{,}05041724319,\quad y\approx0{,}10925867670,\quad z\approx0{,}09243673825.

Passo 10

Comentários finais rápidos (didáticos e motivacionais):
  • Gauss–Seidel convergiu mais rápido (parou em k=6) que Jacobi (k=9) — isso é comum porque GS usa as atualizações imediatamente.
  • A reordenação (pivoteamento por colunas, isto é, renomear variáveis para colocar coeficientes maiores na diagonal) garantiu dominância diagonal e, portanto, convergência dos métodos. Em prova, se o sistema não for diagonalmente dominante, pense em reordenar linhas/colunas para tentar a dominância; se não for possível, verifique outros critérios (raio espectral da matriz de iteração) ou use métodos diretos.
  • Você fez bem em pedir solução passo a passo — manter a organização das iterações e checar o erro percentual é a forma prática de aplicar esses métodos em prova. Força que já está bom!

Resposta

Jacobi: x\approx0{,}05053730987,\; y\approx0{,}10934874061,\; z\approx0{,}09255387397
Gauss–Seidel: x\approx0{,}05041724319,\; y\approx0{,}10925867670,\; z\approx0{,}09243673825

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