Encontre a solução de cada um dos sistemas lineares a seguir na forma fracionária, quando aplicável:
a) \left\{\begin{array}{l}2 x+3 y+7 z=5 \\\\ 7 x+y-11 z=5 \\\\ -3 x-y+8 z=5\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a solução do sistema linear abaixo (na forma fracionária, quando aplicável). As equações dadas são:
\begin{cases} 2x+3y+7z=5\\[4pt] 7x+y-11z=5\\[4pt] -3x-y+8z=5 \end{cases}
Informações importantes dadas:
\text{Equações: }\; \begin{aligned} & (1)\;2x+3y+7z=5,\\\ & (2)\;7x+y-11z=5,\\\ & (3)\;-3x-y+8z=5. \end{aligned}çõ
O que se pede: os valores de x, y e z que satisfazem todas as três equações simultaneamente.]

Passo 2

Método escolhido: eliminação (eliminações por operações elementares nas linhas do sistema). Por que? É um método direto para sistemas 3×3, usa operações que preservam o conjunto solução e permite chegar a uma equação com uma incógnita para resolver por substituição. Vou explicar cada operação e por que ela é válida: trocar uma equação por ela mesma multiplicada por constante diferente de zero, somar a uma equação um múltiplo de outra, ou trocar ordem de equações — todas preservam as soluções.

Passo 3

Coloco o sistema na forma de matriz aumentada (isso só organiza visualmente as contas):
\left[\begin{array}{ccc|c} 2 & 3 & 7 & 5\\[4pt] 7 & 1 & -11 & 5\\[4pt] -3 & -1 & 8 & 5 \end{array}\right]]

Passo 4

Eliminação da incógnita x nas equações 2 e 3 usando a linha 1 como pivô.
Aplicamos as operações
R_2 \leftarrow R_2 - \frac{7}{2}R_1,\qquad R_3 \leftarrow R_3 + \frac{3}{2}R_1.
Calculemos R_2 - \frac{7}{2}R_1 componente a componente:
\begin{aligned} &x\text{-coluna: } 7 - \frac{7}{2}\cdot 2 = 0,\\[4pt] &y\text{-coluna: } 1 - \frac{7}{2}\cdot 3 = 1 - \frac{21}{2} = -\frac{19}{2},\\[4pt] &z\text{-coluna: } -11 - \frac{7}{2}\cdot 7 = -11 - \frac{49}{2} = -\frac{71}{2},\\[4pt] &\text{lado direito: } 5 - \frac{7}{2}\cdot 5 = 5 - \frac{35}{2} = -\frac{25}{2}. \end{aligned}
Para evitar frações intermediárias, multiplico a nova linha R_2 por 2 (operação válida): obtemos
R_2 = [\,0,\,-19,\,-71\mid -25\,].
Agora calculemos R_3 + \frac{3}{2}R_1 componente a componente:
\begin{aligned} &x\text{-coluna: } -3 + \frac{3}{2}\cdot 2 = 0,\\[4pt] &y\text{-coluna: } -1 + \frac{3}{2}\cdot 3 = -1 + \frac{9}{2} = \frac{7}{2},\\[4pt] &z\text{-coluna: } 8 + \frac{3}{2}\cdot 7 = 8 + \frac{21}{2} = \frac{37}{2},\\[4pt] &\text{lado direito: } 5 + \frac{3}{2}\cdot 5 = 5 + \frac{15}{2} = \frac{25}{2}. \end{aligned}
Multiplicando essa nova R_3 por 2 também, obtemos
R_3 = [\,0,\,7,\,37\mid 25\,].]

Passo 5

A matriz após essas operações (e após multiplicar R_2 e R_3 por 2 para limpar frações) é
\left[\begin{array}{ccc|c} 2 & 3 & 7 & 5\\[4pt] 0 & -19 & -71 & -25\\[4pt] 0 & 7 & 37 & 25 \end{array}\right].
Agora temos um sistema equivalente com a primeira coluna já com zeros abaixo do pivô 2.]

Passo 6

Eliminação da incógnita y na terceira linha usando a segunda linha como pivô. Queremos zerar o 7 em R_3. A operação é
R_3 \leftarrow R_3 + \frac{7}{19}R_2,
pois \;7 + \frac{7}{19}(-19)=0.
Façamos os cálculos:
\begin{aligned} &\text{z-coluna: } 37 + \frac{7}{19}(-71) = 37 - \frac{497}{19} = \frac{703-497}{19} = \frac{206}{19},\\[4pt] &\text{lado direito: } 25 + \frac{7}{19}(-25) = 25 - \frac{175}{19} = \frac{475-175}{19} = \frac{300}{19}. \end{aligned}
Multiplicando a linha resultante por 19 (para eliminar denominadores) obtemos
R_3 = [\,0,\,0,\,206\mid 300\,].
Dividindo por 2 para simplificar (operação válida), fica
R_3 = [\,0,\,0,\,103\mid 150\,].]

Passo 7

Agora a terceira linha corresponde à equação em uma única incógnita:
103z = 150.
Dividindo ambos os lados por 103 obtemos
z = \frac{150}{103}.
Respira aí — já temos z! Agora voltamos para cima (substituição reversa).

Passo 8

Usamos a segunda linha (que é -19y -71z = -25) para achar y. A equação é
-19y -71z = -25.
Reorganizando:
-19y = -25 +71z \quad\Longrightarrow\quad y = \frac{25-71z}{19}.
Substituindo z=\dfrac{150}{103}:
y = \frac{25 - 71\cdot \dfrac{150}{103}}{19} = \frac{\dfrac{25\cdot 103 - 71\cdot 150}{103}}{19} = \frac{2575 - 10650}{103\cdot 19} = \frac{-8075}{1957}.
Agora simplificamos a fração. Notamos que 19 é divisor comum de numerador e denominador:
\frac{-8075}{1957} = \frac{-8075/19}{1957/19} = \frac{-425}{103}.
Portanto
y = -\frac{425}{103}.

Passo 9

Finalmente, usamos a primeira equação 2x+3y+7z=5 para achar x. Isolando x:
2x = 5 - 3y - 7z \quad\Longrightarrow\quad x = \frac{5 - 3y - 7z}{2}.
Substituindo y=-\dfrac{425}{103} e z=\dfrac{150}{103}:
\begin{aligned} &-3y = -3\left(-\frac{425}{103}\right) = \frac{1275}{103},\\[4pt] &-7z = -7\left(\frac{150}{103}\right) = -\frac{1050}{103}. \end{aligned}
Colocando 5 sobre o mesmo denominador:
5 = \frac{515}{103}.
Somando tudo:
5 - 3y - 7z = \frac{515}{103} + \frac{1275}{103} - \frac{1050}{103} = \frac{740}{103}.
Logo
x = \frac{\frac{740}{103}}{2} = \frac{740}{206} = \frac{370}{103}.]

Passo 10

Resumo e breve verificação mental: obtivemos soluções com denominador 103, o que é consistente com os passos de eliminação. Se quisermos checar rapidamente, podemos substituir os três valores nas equações originais e ver que os lados direitos dão 5 (os cálculos batem com os valores encontrados).

Resposta

x=\dfrac{370}{103}
y=-\dfrac{425}{103}
z=\dfrac{150}{103}

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