Questão 3

Seja f a seguinte função:
f: Dom(f) & R x & ln xx
a. Achar o domínio da função f.
b. Calcular lim x +infty f(x).
c. Estudar as variações (crescimento e decrescimento) da função f.
d. Encontrar as assíntotas verticais e horizontais (se existirem) e justificar a resposta.
e. Verificar que f^prime prime(x)=-3+2 ln xx^3.
f. Estudar a concavidade da função f.
g. Encontrar os mínimos e máximos relativos da função f (se existirem).
h. Caso achar um extremo relativo, justificar se esse extremo é um extremo global ou não.
i. Calcular as equações das tangentes ao gráfico da função f no ponto (1, f(1)) e no ponto (e, f(e)).
j. Calcular a área comprendida entre o gráfico da função f, o eixo das abcissas, a reta x=1 e a reta x=2.
k. Esboçar o gráfico da função.

Passo 1

O enunciado pede para estudar a função f:Dom(f)toR dada por f(x)=ln xx. Vamos precisar de domínio, limites, derivadas primeira e segunda, estudo de sinais, assíntotas, extremos, tangentes, área e esboço de gráfico.

Passo 2

Para achar o domínio, lembramos que ln x exige x>0. Logo, Dom(f)=(0,+infty).

Passo 3

Para o limite em +infty, usamos que limxto+inftyln xx=0 pois o log cresce mais devagar que a função identidade.

Passo 4

Calculamos a derivada usando quociente:
f'(x)=1xcdot x-ln xcdot1x^2=1-ln xx^2

Passo 5

O sinal de f'(x) vem do numerador 1-ln x: é positivo se ln x<1 (isto é, 0) e negativo se x>e. Assim, f cresce em (0,e) e decresce em (e,+infty).

Passo 6

Verificamos assíntotas:
– Em xto0^+, ln xto-infty e x>0 pequeno, então f(x)to-infty. Há assíntota vertical em x=0.
– Em xto+infty, f(x)to0. Há assíntota horizontal y=0.

Passo 7

Para a segunda derivada, derivamos f'(x)=1-ln xx^2:
f''(x)=-1/xcdot x^2-(1-ln x)cdot2xx^4=-1-2+2ln xx^3=-3+2ln xx^3,

Passo 8

A concavidade vem do sinal de -3+2ln x:
-3+2ln x<0 se ln x<3/2 (isto é, x) ⇒ côncava para baixo.
-3+2ln x>0 se x>e^3/2) ⇒ côncava para cima.

Passo 9

Os pontos críticos vêm de f'(x)=0 x=e. Como f' muda de positivo para negativo lá, há máximo relativo em x=e com f(e)=1/e. É máximo global pois a função tende a -infty em 0^+ e a 0 em +infty, e 1/e>0.

Passo 10

Para as tangentes:
– Em x=1: f(1)=0, f'(1)=(1-0)/1^2=1. Equação: y=1cdot(x-1)+0, ou y=x-1.
– Em x=e: f(e)=1/e, f'(e)=0. Equação: y=1/e.

Passo 11

Para a área entre x=1 e x=2:
integral1^2ln xx,dx
Fazendo u=ln x, du=dx/x, obtemos
integral1^2u,du=lu^22r|0^ln2=(ln2)^22

Passo 12

O esboço reúne: crescimento até e, depois decresce; concavidade muda em e^3/2; assíntotas em x=0 e y=0; ponto de máximo em (e,1/e).

Resposta

(a) Domínio: (0,+infty).
(b) limxto+inftyf(x)=0.
© f cresce em (0,e), decresce em (e,+infty).
(d) Assíntota vertical em x=0; assíntota horizontal em y=0.
(e) f''(x)=-3+2ln xx^3
(f) Côncava para baixo em 0, côncava para cima em x>e^3/2.
(g) Máximo relativo (e global) em x=e, com valor f(e)=1/e; não há mínimo.
(i) Tangente em (1,0): y=x-1. Tangente em (e,1/e): y=1/e.
(j) Área entre x=1 e 2: (ln2)^2/2
(k) Gráfico conforme descrito.

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