a. Achar o domínio da função .
b. Calcular .
c. Estudar as variações (crescimento e decrescimento) da função .
d. Encontrar as assíntotas verticais e horizontais (se existirem) e justificar a resposta.
e. Verificar que .
f. Estudar a concavidade da função .
g. Encontrar os mínimos e máximos relativos da função (se existirem).
h. Caso achar um extremo relativo, justificar se esse extremo é um extremo global ou não.
i. Calcular as equações das tangentes ao gráfico da função no ponto e no ponto .
j. Calcular a área comprendida entre o gráfico da função , o eixo das abcissas, a reta e a reta .
k. Esboçar o gráfico da função.
Passo 1
O enunciado pede para estudar a função dada por . Vamos precisar de domínio, limites, derivadas primeira e segunda, estudo de sinais, assíntotas, extremos, tangentes, área e esboço de gráfico.
Passo 2
Para achar o domínio, lembramos que exige . Logo, .
Passo 3
Para o limite em , usamos que pois o log cresce mais devagar que a função identidade.
Passo 4
Calculamos a derivada usando quociente:
Passo 5
O sinal de vem do numerador : é positivo se (isto é, ) e negativo se . Assim, cresce em e decresce em .
Passo 6
Verificamos assíntotas:
– Em , e pequeno, então . Há assíntota vertical em .
– Em , . Há assíntota horizontal .
Passo 7
Para a segunda derivada, derivamos :
Passo 8
A concavidade vem do sinal de :
– se (isto é, ) ⇒ côncava para baixo.
– se ) ⇒ côncava para cima.
Passo 9
Os pontos críticos vêm de ⇒ . Como muda de positivo para negativo lá, há máximo relativo em com . É máximo global pois a função tende a em e a em , e .
Passo 10
Para as tangentes:
– Em : , . Equação: , ou .
– Em : , . Equação: .
Passo 11
Para a área entre e :
Fazendo , , obtemos
Passo 12
O esboço reúne: crescimento até e, depois decresce; concavidade muda em e^3/2; assíntotas em x=0 e y=0; ponto de máximo em (e,1/e).