Encontre a solução para cada equação diferencial.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a EDO homogênea de coeficientes constantes
O conteúdo é “equação diferencial linear homogênea de 3º ordem com coeficientes constantes” e vamos precisar usar o método do polinômio característico.
Passo 2
Assumimos solução do tipo
. Calculando derivadas:
,
,
. Substituindo na EDO e dividindo por
(que nunca é zero), obtemos o polinômio característico
Passo 3
Procuramos raízes racionais testando
. Nenhuma satisfaz. Então recorremos ao método de Cardano ou a determinantes de somas e produtos para concluir que o polinômio tem uma raiz real e um par complexo conjugado.
Passo 4
Denotando as raízes por
, usa-se soma das raízes
, produto
e soma de pares
. Resolvendo numericamente (ou por Cardano) obtém-se
Passo 5
Como são raízes distintas (uma real e duas complexas conjugadas), a solução geral é
onde