Encontre a solução para cada equação diferencial.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO homogênea de coeficientes constantes
y''' + y'' - 4y = 0
O conteúdo é “equação diferencial linear homogênea de 3º ordem com coeficientes constantes” e vamos precisar usar o método do polinômio característico.

Passo 2

Assumimos solução do tipo y = e^rx. Calculando derivadas: y' = r e^rx, y'' = r^2 e^rx, y''' = r^3 e^rx. Substituindo na EDO e dividindo por e^rx (que nunca é zero), obtemos o polinômio característico
r^3 + r^2 - 4 = 0

Passo 3

Procuramos raízes racionais testando r=±1,±2,±4. Nenhuma satisfaz. Então recorremos ao método de Cardano ou a determinantes de somas e produtos para concluir que o polinômio tem uma raiz real e um par complexo conjugado.

Passo 4

Denotando as raízes por r1, r2,r3, usa-se soma das raízes r1+r2+r3=-1, produto r1r2r3=4 e soma de pares r1r2+r1r3+r2r3=0. Resolvendo numericamente (ou por Cardano) obtém-se
r1approx1.3149, r2,3approx-1.1575pm i,1.3050

Passo 5

Como são raízes distintas (uma real e duas complexas conjugadas), a solução geral é
y(x)=C1e^r1x+C2e^Re(r2)xcosl(Im(r2)xr)+C3e^Re(r2)xsinl(Im(r2)xr),
onde Re(r2)=-1.1575 e Im(r2)=1.3050.

Resposta

y(x)=C1e^1.3149,x+e^-1.1575,xl(C2cos(1.3050,x)+C3sin(1.3050,x)r)

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