Encontre a solução para cada equação diferencial.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear homogênea de terceira ordem com coeficientes constantes
O conteúdo aqui é achar a solução geral usando a equação característica associada

Passo 2

Para resolver, vamos escrever a equação característica substituindo cada derivada por potências de r:
r^3 + 3r^2 + 3r + 1 = 0

Passo 3

Observe que o polinômio r^3 + 3r^2 + 3r + 1 é exatamente a expansão de (r + 1)^3 pois sabemos que
(r + 1)^3 = r^3 + 3r^2 + 3r + 1
Logo a equação característica fica
(r + 1)^3 = 0

Passo 4

Isso implica que a raiz r = -1 tem multiplicidade 3. Para raízes repetidas de ordem 3 de uma equação linear homogênea, a forma da solução geral é
y(x) = (C1 + C2 x + C3 x^2)e^rx
Substituindo r = -1, obtemos a solução geral

Resposta

y(x) = (C1 + C2 x + C3 x^2)e^-x

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