Resolva a equação diferencial sujeita às condições iniciais indicadas.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO linear homogênea de 3º ordem com coeficientes constantes
Conteúdo: equações diferenciais lineares com coeficientes constantes e condições iniciais.
Vamos precisar montar a equação característica, encontrar suas raízes, obter a solução geral e ajustar as constantes às condições iniciais.

Passo 2

Escrevemos a equação característica associada à EDO
r^3 + 2r^2 - 5r - 6 = 0
Testando raízes inteiras, vemos que r=2 anula o polinômio. Dividindo, obtemos

Passo 3

(r - 2)(r^2 + 4r + 3) = 0
e então

Passo 4

r^2 + 4r + 3 = (r + 1)(r + 3)
Assim, as raízes são r = 2, r = -1 e r = -3.

Passo 5

A solução geral da EDO é combinação linear das exponenciais correspondentes às raízes:
y(x) = C1 e^2x + C2 e^-x + C3 e^-3x

Passo 6

Para impor as condições iniciais, calculamos as derivadas:
y'(x) = 2C1 e^2x - C2 e^-x - 3C3 e^-3x,
y''(x) = 4C1 e^2x + C2 e^-x + 9C3 e^-3x

Passo 7

Aplicamos as condições em x=0:
  1. y(0)=0 ⇒ C_1 + C_2 + C_3 = 0
  2. y’(0)=0 ⇒ 2C_1 - C_2 - 3C_3 = 0
  3. y’’(0)=1 ⇒ 4C_1 + C_2 + 9C_3 = 1

Passo 8

Resolvendo o sistema:
De (1)+(2): 3C_1 - 2C_3 = 0 ⇒ C_3 = \tfrac32 C_1
De (1): C_2 = -C_1 - C_3 = -\tfrac52 C_1
Substituindo em (3): 4C_1 - \tfrac52 C_1 + 9\bigl(\tfrac32 C_1\bigr) = 1 ⇒ 15C_1 = 1 ⇒ C_1 = \tfrac1{15}
Logo C_3 = \tfrac1{10} e C_2 = -\tfrac16.

Passo 9

Substituindo as constantes na solução geral, obtemos a solução particular que satisfaz as condições iniciais.

Resposta

y(x) = 115e^2x - 16e^-x + 110e^-3x

Exercícios relacionados