Resolva a equação diferencial sujeita às condições iniciais indicadas.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a EDO linear homogênea de 3º ordem com coeficientes constantes
Conteúdo: equações diferenciais lineares com coeficientes constantes e condições iniciais.
Vamos precisar montar a equação característica, encontrar suas raízes, obter a solução geral e ajustar as constantes às condições iniciais.
Conteúdo: equações diferenciais lineares com coeficientes constantes e condições iniciais.
Vamos precisar montar a equação característica, encontrar suas raízes, obter a solução geral e ajustar as constantes às condições iniciais.
Passo 2
Escrevemos a equação característica associada à EDO
Testando raízes inteiras, vemos que r=2 anula o polinômio. Dividindo, obtemos
Passo 3
e então
Passo 4
Assim, as raízes são r = 2, r = -1 e r = -3.
Passo 5
A solução geral da EDO é combinação linear das exponenciais correspondentes às raízes:
Passo 6
Para impor as condições iniciais, calculamos as derivadas:
Passo 7
Aplicamos as condições em x=0:
- y(0)=0 ⇒ C_1 + C_2 + C_3 = 0
- y’(0)=0 ⇒ 2C_1 - C_2 - 3C_3 = 0
- y’’(0)=1 ⇒ 4C_1 + C_2 + 9C_3 = 1
Passo 8
Resolvendo o sistema:
De (1)+(2): 3C_1 - 2C_3 = 0 ⇒ C_3 = \tfrac32 C_1
De (1): C_2 = -C_1 - C_3 = -\tfrac52 C_1
Substituindo em (3): 4C_1 - \tfrac52 C_1 + 9\bigl(\tfrac32 C_1\bigr) = 1 ⇒ 15C_1 = 1 ⇒ C_1 = \tfrac1{15}
Logo C_3 = \tfrac1{10} e C_2 = -\tfrac16.
De (1)+(2): 3C_1 - 2C_3 = 0 ⇒ C_3 = \tfrac32 C_1
De (1): C_2 = -C_1 - C_3 = -\tfrac52 C_1
Substituindo em (3): 4C_1 - \tfrac52 C_1 + 9\bigl(\tfrac32 C_1\bigr) = 1 ⇒ 15C_1 = 1 ⇒ C_1 = \tfrac1{15}
Logo C_3 = \tfrac1{10} e C_2 = -\tfrac16.
Passo 9
Substituindo as constantes na solução geral, obtemos a solução particular que satisfaz as condições iniciais.