Encontre a solução para cada equação diferencial.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a solução geral da equação diferencial ordinária linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
Conteúdo: método da equação característica para EDOs do tipo
2 y″ – 5 y′ = 0

Passo 2

Para usar o método da equação característica, assumimos uma solução da forma y=e^{r x}. Substituindo y, y′=r e^{r x} e y″=r² e^{r x} na EDO, obtemos
2l(r² e^r xr) - 5l(r e^r xr) = 0 ²
Como e^{r x}≠0, podemos dividir por e^{r x} para chegar à equação característica:

Passo 3

A equação característica fica
2 r² - 5 r = 0 ²
Podemos fatorar r:
r,(2 r - 5) = 0

Passo 4

As raízes da equação característica são r₁ = 0 e r₂ = 5/2. Como são duas raízes reais distintas, a solução geral da EDO é dada por
y(x) = C1 e^r1 x + C2 e^r2 x
Substituindo r₁ e r₂: y(x)=C₁ e^{0·x}+C₂ e^{(5/2)x} = C₁ + C₂ e^{(5/2)x}.

Passo 5

Essa é a forma geral da solução para a equação dada, com C₁ e C₂ constantes arbitrárias.

Resposta

y(x) = C_{1} + C_{2} e^{\tfrac{5}{2} x}

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