Encontre a solução para cada equação diferencial.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a solução geral da equação diferencial ordinária linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
Conteúdo: método da equação característica para EDOs do tipo
2 y″ – 5 y′ = 0
Passo 2
Para usar o método da equação característica, assumimos uma solução da forma y=e^{r x}. Substituindo y, y′=r e^{r x} e y″=r² e^{r x} na EDO, obtemos
Como e^{r x}≠0, podemos dividir por e^{r x} para chegar à equação característica:
Passo 3
A equação característica fica
Podemos fatorar r:
Passo 4
As raízes da equação característica são r₁ = 0 e r₂ = 5/2. Como são duas raízes reais distintas, a solução geral da EDO é dada por
Substituindo r₁ e r₂: y(x)=C₁ e^{0·x}+C₂ e^{(5/2)x} = C₁ + C₂ e^{(5/2)x}.
Passo 5
Essa é a forma geral da solução para a equação dada, com C₁ e C₂ constantes arbitrárias.
Resposta
y(x) = C_{1} + C_{2} e^{\tfrac{5}{2} x}