Exercício 10 Considere a função
Mostre que existe
, para cada
, mas
não é diferenciável em
.
Passo 1
Estamos lidando com derivadas direcionais e diferenciabilidade de funções em $\mathbb{R}^2$. A função é definida por:
\[ f(x,y)=
\
Queremos mostrar que para todo vetor$v=(a,b)$ a derivada direcional$\partial f/\partial v(0,0)$ existe, mas não há diferencial linear que aproxime$f$ em$(0,0)$, ou seja,$f$ não é diferenciável ali.
Passo 2
Para calcular a derivada direcional em direção a$v=(a,b)$ usamos a definição:
\[ \frac{\partial f}{\partial v}(0,0)=\lim_{t\to0}\frac{f(tv)-f(0)}{t}.\
Como$f(0)=0$, basta analisar$f(ta,tb)$.
Passo 3
Observando$f(ta,tb)$ para\$(a,b)\neq(0,0)$:
\[ f(ta,tb)=\frac{(ta)2\cdot(tb)}{(ta)2+(tb)^2}
=\frac{t3a2b}{t2(a2+b^2)}
=t\frac{a2b}{a2+b^2}.\
=\frac{t3a2b}{t2(a2+b^2)}
=t\frac{a2b}{a2+b^2}.\
Assim,
\[ \frac{f(ta,tb)-0}{t}=rac{a2b}{a2+b^2},\
que é constante em$t$. Logo a derivada direcional existe e vale$a2b/(a2+b^2)$. Para$v=(0,0)$ temos trivialmente$\partial f/\partial v(0,0)=0$.
Passo 4
Para verificar diferenciabilidade, lembramos que se$f$ fosse diferenciável em$(0,0)$, existiria uma forma linear$L:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}$ tal que
\[ f(h,k)=L(h,k)+o(|(h,k)|)\quadquando(h,k)\to(0,0).\
Além disso, a derivada direcional em qualquer vetor$(a,b)$ seria simplesmente$L(a,b)$.
Passo 5
Mas já vimos que$L(a,b)$ teria de ser$a2b/(a2+b^2)$ para todo$(a,b)\neq(0,0)$. Isso não define uma aplicação linear, pois:
- Se fosse linear, deveríamos ter
$[L(1,1)=L(1,0)+L(0,1)]$
mas
$[L(1,1)=1/2]$ enquanto$[L(1,0)=0]$ e$[L(0,1)=0]$ viriam da fórmula$a2b/(a2+b^2)$.
Essa contradição mostra que não existe$L$ linear que reproduza todas as derivadas direcionais.
Passo 6
Como não há transformação linear que encaixe com as derivadas direcionais obtidas, concluímos que$f$ não é diferenciável em$(0,0)$.
Resposta
Para todo$v=(a,b)$ temos$\frac{\partial f}{\partial v}(0,0)=a2b/(a2+b^2)$, mas\nf não é diferenciável em$(0,0)$ pois não existe forma linear que produza esses valores.