Exercício 10 Considere a função
f(x)=l x^2 yx^2+y^2, se (x, y) neq(0,0) 0, caso contrário á
Mostre que existe partial fpartial v(0,0), para cada v in R^n, mas f não é diferenciável em (0,0).

Passo 1

Estamos lidando com derivadas direcionais e diferenciabilidade de funções em $\mathbb{R}^2$. A função é definida por:
\[ f(x,y)= R^2\
Queremos mostrar que para todo vetor$v=(a,b)$ a derivada direcional$\partial f/\partial v(0,0)$ existe, mas não há diferencial linear que aproxime$f$ em$(0,0)$, ou seja,$f$ não é diferenciável ali.

Passo 2

Para calcular a derivada direcional em direção a$v=(a,b)$ usamos a definição:
\[ \frac{\partial f}{\partial v}(0,0)=\lim_{t\to0}\frac{f(tv)-f(0)}{t}.\
Como$f(0)=0$, basta analisar$f(ta,tb)$.

Passo 3

Observando$f(ta,tb)$ para\$(a,b)\neq(0,0)$:
\[ f(ta,tb)=\frac{(ta)2\cdot(tb)}{(ta)2+(tb)^2}
=\frac{t3a2b}{t2(a2+b^2)}
=t\frac{a2b}{a2+b^2}.\
Assim,
\[ \frac{f(ta,tb)-0}{t}= rac{a2b}{a2+b^2},\
que é constante em$t$. Logo a derivada direcional existe e vale$a2b/(a2+b^2)$. Para$v=(0,0)$ temos trivialmente$\partial f/\partial v(0,0)=0$.

Passo 4

Para verificar diferenciabilidade, lembramos que se$f$ fosse diferenciável em$(0,0)$, existiria uma forma linear$L:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}$ tal que
\[ f(h,k)=L(h,k)+o(|(h,k)|)\quadquando(h,k)\to(0,0).\
Além disso, a derivada direcional em qualquer vetor$(a,b)$ seria simplesmente$L(a,b)$.

Passo 5

Mas já vimos que$L(a,b)$ teria de ser$a2b/(a2+b^2)$ para todo$(a,b)\neq(0,0)$. Isso não define uma aplicação linear, pois:
  • Se fosse linear, deveríamos ter
    $[L(1,1)=L(1,0)+L(0,1)]$
    mas
    $[L(1,1)=1/2]$ enquanto$[L(1,0)=0]$ e$[L(0,1)=0]$ viriam da fórmula$a2b/(a2+b^2)$.
Essa contradição mostra que não existe$L$ linear que reproduza todas as derivadas direcionais.

Passo 6

Como não há transformação linear que encaixe com as derivadas direcionais obtidas, concluímos que$f$ não é diferenciável em$(0,0)$.

Resposta

Para todo$v=(a,b)$ temos$\frac{\partial f}{\partial v}(0,0)=a2b/(a2+b^2)$, mas\nf não é diferenciável em$(0,0)$ pois não existe forma linear que produza esses valores.

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