Encontre a solução para cada equação diferencial.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de segunda ordem homogênea com coeficientes constantes y'' - 8y = 0. O conteúdo envolvido é equações diferenciais lineares de 2ª ordem e vamos precisar usar o método do polinômio característico.

Passo 2

Formamos o polinômio característico substituindo y = e^rx, o que leva a r^2 - 8 = 0. Resolvendo para r temos
r^2 = 8 Rightarrow r = pm raiz8 = pm 2raiz2

Passo 3

Como as raízes r1 = 2raiz2 e r2 = -2raiz2 são reais e distintas, a solução geral da equação diferencial é a combinação linear das soluções elementares. Portanto, juntando tudo, obtemos a solução geral:

Resposta

y(x)=C1e^2raiz2,x+C2e^-2raiz2,x, onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

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