Seja
.
(a)
é contínua em 0 ? Por quê?
(b)
é derivável em 0? Por quê?
(a)
(b)
Passo 1
Temos uma função por partes: f(x)=x² se x<0 e f(x)=−x² se x≥0. O objetivo é verificar a continuidade e a derivabilidade em x=0, usando definição de limite para continuidade e definição de derivada para derivabilidade.
Passo 2
Para testar a continuidade em 0, usamos que f é contínua em x₀ se
. Calculando os limites laterais em 0:
E como , temos
. Logo, f é contínua em 0.
E como
Passo 3
Para verificar a derivabilidade em 0 aplicamos a definição
. Esse limite existe se e somente se as derivadas laterais coincidirem. Calculamos as diferenças quociente laterais:
Para h<0:
quando
.
Para h>0:
quando
.
Como ambos os limites laterais valem 0, a derivada em 0 existe e vale 0.
Para h<0:
Para h>0:
Como ambos os limites laterais valem 0, a derivada em 0 existe e vale 0.
Resposta
Sim. A função é contínua em x=0 e também derivável em x=0, com f’(0)=0.