Seja llx^2, & se x<0 -x^2, & se x >= 0.
(a) f é contínua em 0 ? Por quê?
(b) f é derivável em 0? Por quê?

Passo 1

Temos uma função por partes: f(x)=x² se x<0 e f(x)=−x² se x≥0. O objetivo é verificar a continuidade e a derivabilidade em x=0, usando definição de limite para continuidade e definição de derivada para derivabilidade.

Passo 2

Para testar a continuidade em 0, usamos que f é contínua em x₀ se limxto x₀f(x)=f(x₀). Calculando os limites laterais em 0:
limxto0^-f(x)=limxto0^-x^2=0
limxto0^+f(x)=limxto0^+(-x^2)=0
E como f(0)=-0^2=0, temos limxto0f(x)=0=f(0). Logo, f é contínua em 0.

Passo 3

Para verificar a derivabilidade em 0 aplicamos a definição f'(0)=limhto0f(0+h)-f(0)h. Esse limite existe se e somente se as derivadas laterais coincidirem. Calculamos as diferenças quociente laterais:
Para h<0:
f(h)-f(0)h=h^2-0h=hto0 quando hto0^-.
Para h>0:
f(h)-f(0)h=-h^2-0h=-hto0 quando hto0^+.
Como ambos os limites laterais valem 0, a derivada em 0 existe e vale 0.

Resposta

Sim. A função é contínua em x=0 e também derivável em x=0, com f’(0)=0.

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