Exercício 8 Considere as funções
(a) Estude a continuidade das duas funções.
(b) Estude a diferenciabilidade das duas funções.
(b) Estude a diferenciabilidade das duas funções.
Passo 1
O enunciado pede para a gente estudar continuidade e diferenciabilidade de duas funções de duas variáveis definidas a pedaços:
e
quando
e valendo zero na origem. Vamos usar limites em várias variáveis (em particular coordenadas polares), além da definição de derivada parcial e de diferenciabilidade (aproximação linear).
Passo 2
Para pontos
, ambas
e
são quocientes de polinômios com denominador não nulo. Logo, são funções compostas de operações algébricas (adição, multiplicação, divisão) num domínio que evita zeros no denominador. Pelo teorema de operações elementares, ambas são contínuas e diferenciáveis para
.
Passo 3
No ponto
estudamos os limites em coordenadas polares: definindo
,
, temos
ou seja,
Passo 4
Para verificar diferenciabilidade em
de
, primeiro calculamos as derivadas parciais por definição:
Passo 5
A aproximação linear candidata é
. O resto é
$$R(x,y)=f(x,y)-L(x,y)=\frac{x3}{x2+y2}-x=-\frac{x,y2}{x2+y2}.
$$
Passo 6
Em coordenadas
, o quociente de definição de diferenciabilidade é
Como
Resposta
A) f é contínua em todo
, g é contínua em
e descontínua na origem.
B) Ambas são diferenciáveis em . Em
, f não é diferenciável (apesar de ser contínua) e g também não (pois não é contínua).
B) Ambas são diferenciáveis em