Exercício 8 Considere as funções
f(x, y)=l x^3x^2+y^2, se (x, y) neq(0,0), 0, caso contrário e g(x, y)=l x^2-y^2x^2+y^2, se (x, y) neq(0,0) 0, caso contrário áá
(a) Estude a continuidade das duas funções.
(b) Estude a diferenciabilidade das duas funções.

Passo 1

O enunciado pede para a gente estudar continuidade e diferenciabilidade de duas funções de duas variáveis definidas a pedaços: f(x,y)=x^3/(x^2+y^2) e g(x,y)=(x^2-y^2)/(x^2+y^2) quando (x,y)neq(0,0) e valendo zero na origem. Vamos usar limites em várias variáveis (em particular coordenadas polares), além da definição de derivada parcial e de diferenciabilidade (aproximação linear).

Passo 2

Para pontos (x,y)neq(0,0), ambas f e g são quocientes de polinômios com denominador não nulo. Logo, são funções compostas de operações algébricas (adição, multiplicação, divisão) num domínio que evita zeros no denominador. Pelo teorema de operações elementares, ambas são contínuas e diferenciáveis para (x,y)neq(0,0).

Passo 3

No ponto (0,0) estudamos os limites em coordenadas polares: definindo x=rcostheta, y=rsintheta, temos
f(r,theta)=r^3cos^3thetar^2=rcos^3thetato 0(rto 0),
ou seja, lim(x,y)to(0,0)f(x,y)=0=f(0,0), então f é contínua na origem. Para g:
g(r,theta)=r^2cos^2theta - r^2sin^2thetar^2=cos2theta,que depende de theta. Logo o limite não existe quando rto0, e g é descontínua em (0,0).

Passo 4

Para verificar diferenciabilidade em (0,0) de f, primeiro calculamos as derivadas parciais por definição:
partial fpartial x(0,0)=limhto0f(h,0)-0h=limhto0h^3/h^2h=1, partial fpartial y(0,0)=limhto0f(0,h)-0h=0

Passo 5

A aproximação linear candidata é L(x,y)=1cdot x+0cdot y=x. O resto é
$$R(x,y)=f(x,y)-L(x,y)=\frac{x3}{x2+y2}-x=-\frac{x,y2}{x2+y2}.
$$

Passo 6

Em coordenadas y=mx, o quociente de definição de diferenciabilidade é
|R(x,mx)|raizx^2+(mx)^2=m^2(1+m^2)^3/2,que não tende a zero (depende de m). Assim o limite do resto sobre |h| não é zero, e f não é diferenciável em (0,0).
Como g nem é contínua em (0,0), com certeza não é diferenciável ali.

Resposta

A) f é contínua em todo R^2, g é contínua em R^2setminus(0,0) e descontínua na origem.
B) Ambas são diferenciáveis em (x,y)neq(0,0). Em (0,0), f não é diferenciável (apesar de ser contínua) e g também não (pois não é contínua).

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