Encontre a solução para cada equação diferencial.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes homogênea
Conteúdo: equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes.
O que vamos precisar: método do polinômio característico.

Passo 2

Para aplicar o método, assumimos uma solução do tipo y(x)=e^r x. Substituindo na equação
y''+3y'-5y=0
ficamos com
r^2e^r x+3r e^r x-5e^r x=0
Como e^r xneq0, dividimos por e^r x e obtemos o polinômio característico:

Passo 3

O polinômio característico é
r^2+3r-5=0
Para encontrar as raízes, aplicamos a fórmula de Bhaskara:

Passo 4

O discriminante é De. Logo as raízes são
r=-3pmraiz292

Passo 5

Como as raízes r1=-3+raiz292 e r2=-3-raiz292 são reais e distintas, a solução geral da equação diferencial é a combinação linear das exponenciais correspondentes.

Resposta

y(x)=C1e^-3+raiz292x+C2e^-3-raiz292x

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