Exercício 8 Sejam f(x, y)=e^x+5 y e P(x, y) o polinômio de Taylor de ordem 1 em volta do ponto (0,0).
(a) Mostre que se x+5 y<1, então
|e^x+5 y-P(x, y)|<32(x+5 y)^2
(b) Avalie o erro que se comete na aproximação
e^x+5 y approx P(x, y)
com x=0,01 e y=0,01.

Passo 1

O enunciado diz que temos a função f(x,y)=e^x+5y e que P(x,y) é o polinômio de Taylor de primeira ordem de f em torno de (0,0). Precisamos usar o Teorema de Taylor (resto na forma de Lagrange) para multivariáveis, mas como f(x,y) depende só de t=x+5y, basta aplicar o caso unidimensional a g(t)=e^t.

Passo 2

Primeiro calculamos P(x,y) encontrando f(0,0) e as derivadas parciais em (0,0):
fx(x,y)=e^x+5y,
fy(x,y)=5e^x+5y
Em (0,0) temos f(0,0)=1, fx(0,0)=1 e fy(0,0)=5. Logo,
P(x,y)=1 + 1cdot x + 5cdot y = 1 + x + 5y

Passo 3

Para estimar o erro R(x,y)=e^x+5y-P(x,y), define-se t=x+5y e considera-se g(t)=e^t. O Teorema de Taylor na forma de Lagrange diz que existe xi entre 0 e t tal que
R(x,y)=g(t)-l(g(0)+g'(0)tr)=g''(xi)2,t^2

Passo 4

Como g''(xi)=e^xi e estamos assumindo t=x+5y<1, temos xi e portanto
e^xi
Daí segue
|R(x,y)|=e^xi2t^2<32,t^2=32(x+5y)^2

Passo 5

Para x=0,01 e y=0,01, temos t=x+5y=0,06. Logo o erro satisfaz
|e^0,06 - P(0,01,0,01)|<32(0,06)^2=32times0,0036=0,0054

Resposta

(a) Foi demonstrado que
|e^x+5y-P(x,y)|<32(x+5y)^2
sempre que x+5y<1.
(b) Para x=y=0,01 o erro fica menor que 0,0054.

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