Encontre a solução para cada equação diferencial.

Passo 1

O enunciado nos dá uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes, que é do tipo a y'' + b y' + c y = 0. Aqui temos 8 y'' + 2 y' - y = 0, e vamos usar o método da equação característica para resolver.

Passo 2

Formamos a equação característica associada substituindo ysim e^r x. Assim obtemos:
8r^2 + 2r - 1 = 0

Passo 3

Para encontrar as raízes dessa equação quadrática usamos a fórmula de Bhaskara. Os coeficientes são a=8, b=2 e c=-1.
r = -2 pm raiz2^2 - 4cdot8cdot(-1)2cdot8 = -2 pm raiz4 + 3216 = -2 pm 616
Isso dá as raízes r1 = tfrac416 = tfrac14 e r2 = tfrac-816 = -tfrac12.

Passo 4

Como as raízes r1 e r2 são reais e distintas, a solução geral da equação diferencial é a combinação linear das exponenciais correspondentes:
y(x) = C1 e^r1 x + C2 e^r2 x = C1 e^x4 + C2 e^-x2

Resposta

y(x) = C_1 e^{x/4} + C_2 e^{-x/2}

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