Exercício 12 verifique que a equação x^2 y+sen(y)=x define implicitamente uma função y=y(x). Expresse d yd x tem termos de x e y.

Passo 1

Nesta questão a gente tem a equação x^2y+sin(y)=x, que por hipótese define implicitamente uma função y=y(x). O conteúdo é derivação implícita: vamos usar a regra do produto e a regra da cadeia para achar tfracdydx.

Passo 2

Derivando ambos os lados em relação a x:
ddxl(x^2yr)+ddxl(sin(y)r)=ddx(x)
Pela regra do produto e da cadeia isso vira:
l(2x,y + x^2tfracdydxr) + l(cos(y)tfracdydxr) = 1

Passo 3

Agora vamos agrupar os termos que contêm tfracdydx:
x^2tfracdydx + cos(y)tfracdydx + 2x,y = 1
e isso é o mesmo que
(x^2+cos(y))tfracdydx + 2x,y = 1

Passo 4

Por fim, isolamos tfracdydx:
(x^2+cos(y))tfracdydx = 1 - 2x,y
e assim
tfracdydx = 1 - 2x,yx^2 + cos(y)

Resposta

dydx = 1 - 2xyx^2 + cos(y)

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