Exercício 10 Sejam P(x, y) o polinômio de Taylor de ordem 2 de f(x, y)=x sen(y) em volta do ponto (0,0). Mostre que
|f(x, y)-P(x, y)|<|y|^22[|x|+13|y|]

Passo 1

O enunciado pede o polinômio de Taylor de ordem 2 de f(x,y)=x sen(y) em torno de (0,0) e uma estimativa do resto |f−P|. Vamos usar derivadas parciais e a forma de Lagrange para o resto.

Passo 2

Calculamos as derivadas em (0,0): f(0,0)=0, f_x=sen(y) ⇒ f_x(0,0)=0, f_y=x
cós(y) ⇒ f_y(0,0)=0. As derivadas de segunda ordem em (0,0) são f_{xx}=0, f_{xy}=cos(y) ⇒ f_{xy}(0,0)=1, f_{yy}=−x
sen(y) ⇒ f_{yy}(0,0)=0. Então o polinômio de Taylor de ordem 2 (grau ≤2) é P(x,y)=xy.

Passo 3

Como f(x,y)=x
sen(y), subtraindo P temos f(x,y)−P(x,y)=x[sen(y)−y]. Agora aplicamos a forma de Lagrange para sen(y) em torno de 0 até ordem 1: existe ξ entre 0 e y tal que
sen(y)−y=−y^36cos(ξ)
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|f(x,y)−P(x,y)|=|x|,|sen(y)−y|<=|x||y|^36

Passo 4

Para chegar na forma desejada, observamos que

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