Encontre a solução de cada problema de valor inicial e determine o intervalo no qual ela é válida.
Passo 1
O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
cujas incógnitas são típicas de uma EDO linear de 1ª ordem. Vamos usar o método do fator integrante.
cujas incógnitas são típicas de uma EDO linear de 1ª ordem. Vamos usar o método do fator integrante.
Passo 2
Primeiro colocamos a EDO na forma padrão
. Dividindo tudo por
(e observando que
) obtemos:
Passo 3
Agora calculamos o fator integrante
Passo 4
Multiplicamos a forma padrão por
. O lado esquerdo vira derivada exata:
e o lado direito é
Passo 5
Integramos ambos os lados:
Fazendo a substituição
, vem
Logo
Passo 6
Isolando
obtemos a solução geral:
Passo 7
Agora aplicamos a condição inicial
:
- e^{-2} + C = -12 \implies C = e^{-2} - 12.
$$
Passo 8
Substituindo
na solução geral, a solução particular fica
Passo 9
O domínio natural da solução é
. Como a condição inicial está em
, a solução é válida em
Resposta
A solução particular é
, válida no intervalo
.