Encontre a solução de cada problema de valor inicial e determine o intervalo no qual ela é válida.
lx y^prime+2 y=e^-x^22 y(2)=-3

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
x,y'+2y = e^-x^2/2, y(2)=-3
cujas incógnitas são típicas de uma EDO linear de 1ª ordem. Vamos usar o método do fator integrante.

Passo 2

Primeiro colocamos a EDO na forma padrão y'+p(x)y=q(x). Dividindo tudo por x (e observando que xneq0) obtemos:
y' + 2xy = 1xe^-x^2/2

Passo 3

Agora calculamos o fator integrante
mu(x) = e^integral 2x,dx = e^2ln|x| = x^2

Passo 4

Multiplicamos a forma padrão por mu(x)=x^2. O lado esquerdo vira derivada exata:
ddxl(x^2yr) = x^2l(y' + tfrac2xyr)
e o lado direito é
x^2 cdot 1xe^-x^2/2 = x e^-x^2/2

Passo 5

Integramos ambos os lados:
integral ddx(x^2y),dx = integral x e^-x^2/2,dx
Fazendo a substituição u= -tfracx^22, vem
integral x e^-x^2/2,dx = -e^-x^2/2 + C
Logo
x^2y = -e^-x^2/2 + C

Passo 6

Isolando y obtemos a solução geral:
y(x) = -e^-x^2/2 + Cx^2

Passo 7

Agora aplicamos a condição inicial y(2)=-3:
-e^-2 + C2^2 = -3 $$
  • e^{-2} + C = -12 \implies C = e^{-2} - 12.
$$

Passo 8

Substituindo C na solução geral, a solução particular fica
y(x) = e^-2 - 12 - e^-x^2/2x^2

Passo 9

O domínio natural da solução é xneq0. Como a condição inicial está em x=2>0, a solução é válida em
(0,infty)

Resposta

A solução particular é y(x)=tfrace^-2-12 - e^-x^2/2x^2, válida no intervalo (0,infty).

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